フルーリーの多重複素数

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数学における多重複素数(たじゅうふくそすう、: multi­complex number𝓜n は、Norbert Fleury が (Fleury, Rausch de Traubenberg & Yamaleev 1993) で導入した、任意の自然数(0 を含まない)n* に対して定義される超複素数系の系列で、それぞれ n-次元の可換結合多元環を成す。

定義[編集]

一つの元 e[注釈 1]en = −1 を満たし、かつその冪からなる有限列 (1, e, e2, …, en−1)線型独立とする。このとき、𝓜n は、この列を生成系とする実多元環として定義される[注釈 2][1][2]

代数的性質[編集]

直和およびテンソル積[編集]

  • 各代数 𝓜n および からなる代数の直和[注釈 3] になる[3][注釈 4]:
    • n が偶数のとき:
    • n が奇数のとき:
    • あるいはまとめて: 𝓜nn mod 2 × n/2⌋.
  • ここから直ちに従うこととして:
    • m ,n が何れか奇数でないならば 𝓜m ⊕ 𝓜n ≅ 𝓜m+n;
    • m, n がともに奇数のとき [注釈 5]
  • 上記の性質を利用して、代数のテンソル積 が代数の直和 の上に分配的であること、および同型[注釈 6] 𝓜4 がわかる。そこから 𝓜m 𝓜n ≅ 𝓜mn を示すのは容易。

n との関係[編集]

部分環[編集]

  • 𝓜ℂn−1 ⊂ 𝓜ℂn.
  • n/2⌉ ⊂ 𝓜ℂn.
  • D’où ⌊(n+1)/4⌋ ⊂ 𝓜ℂn.
  • n/2⌋ ⊂ 𝓜ℂn.

特に 𝓜ℂ3 に関して[編集]

19世紀に複素数を二次元の平面という幾何学的な形に表す考えが優位となったのち、数学者はこれを三次元の空間に対応する超複素数系に拡張しようと試みたがことごとく失敗に終わった。最終的には、超複素数の代数の成す次元とそれが表す幾何学的空間の次元が等しいという仮定を捨て去って、四次元の数である四元数が、そしてその三次元空間における回転フランス語版との関係英語版が発見されることとなる。そのような四元数の成功にも関わらず、空間における幾何学的操作に相同する性質を示す次元数 3 の超複素数系を探索する者たちが引き続き存在しており、そのうちの幾人かはそれぞれ独立に 𝓜3[5] またはそれに自明な[6][注釈 7]同型を持つ代数にたどり着いている。

[編集]

注釈[編集]

  1. ^ ネイピア数ではない
  2. ^ 定義により、この列が生成する超複素数系の基底となる
  3. ^ 直和因子の数は有限個だから、直和 代数の直積 × と同値
  4. ^ この参考文献では n が奇数のときの説明に誤りがある
  5. ^ 分解型複素数を表す
  6. ^ ここでは証明しない
  7. ^ 単に基底を (1, h, k) = (1, −e, e2) と置きかえる

参考文献[編集]

参考文献[編集]

  • (英語) Fleury, Norbert; Rausch de Traubenberg, Michel; Yamaleev (1993). “Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry” (pdf). Journal of Mathematical Analysis and Applications 180: 431–457. doi:10.1006/jmaa.1993.1410. ISSN 0022-247X. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X83714101/pdf?md5=99c473b97d70da5a165a55850a33d7ea&pid=1-s2.0-S0022247X83714101-main.pdf. 
  • (英語) Fleury, Norbert; Rausch de Traubenberg, Michel; Yamaleev, Robert Masgutovich (1995). “Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations” (pdf). Journal of Mathematical Analysis and Applications 191 (1): 118–136. doi:10.1006/jmaa.1995.1123. ISSN 0022-247X. http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X85711237/pdf?md5=ac6d716df36bd8f8fa10e055b4412b92&pid=1-s2.0-S0022247X85711237-main.pdf. 
  • Michel Rausch de Traubenberg, Algèbres de Clifford, Supersymétrie et Symétries ℤn, Applications en Théorie des Champs, Strasbourg, Université Louis Pasteur (habilitation à diriger des recherches),‎ (arXiv hep-th/9802141), chap. 1.2 (« Extension des nombres complexes »), p. 20–29
  • (en) Silviu Olariu, Complex Numbers in Three Dimensions,‎ (arXiv math/0008120)[注釈 1]
  • (en) Shlomo Jacobi, On a novel 3D hypercomplex number system,‎ (arXiv 1509.01459)

  1. ^ この本では、研究対象である 𝓜3 に同型なものを « nombres tricomplexes »(「三重複素数」)と呼んでいるが、歴史的にセグレの多重複素数のひとつ 3 のことを « nombres tricomplexes » 言うのと混同してはならない

関連項目[編集]