フルヴィッツの定理 (数論)

数論において，フルヴィッツの定理（英: Hurwitz's theorem）とは，アドルフ・フルヴィッツ (Adolf Hurwitz) の名に因んだ定理で，ディオファントス近似の上界を与える．定理の主張は以下である．任意の無理数 $ξ$ に対し，互いに素な整数 $m$ , $n$ であって

\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}

となるものが無限個存在する． $ξ$ が無理数であるという仮定を外すことは出来ない．さらに，定数 $\sqrt 5$ は最良のものである．もし $\sqrt 5$ を別の任意の数 $A > \sqrt 5$ に置き換え， $\xi =(1+{\sqrt {5}})/2$ （黄金比）とおくと，上の不等式が成り立つような互いに素な整数 $m$ , $n$ は有限個しか存在しない．

この定理は任意の無理数のマルコフ定数が $\sqrt 5$ より大きいことを意味している。

参考文献[編集]

Hurwitz, A. (1891). “Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (On the approximate representation of irrational numbers by rational fractions)” (German). Mathematische Annalen 39 (2): 279–284. doi:10.1007/BF01206656. JFM 23.0222.02. (note: a PDF version of the paper is available from the given weblink for the volume 39 of the journal, provided by Göttinger Digitalisierungszentrum)
G. H. Hardy, Edward M. Wright, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, Andrew Wiles (2008). “Theorem 193”. An introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford science publications. p. 209. ISBN 0-19-921986-9
LeVeque, William Judson (1956). Topics in number theory. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.. MR0080682
Ivan Niven (2013). Diophantine Approximations. Courier Corporation. ISBN 0486462676