フェルミエネルギー

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量子力学物性物理学においてフェルミエネルギー (Fermi energy)あるいフェルミ準位(Fermi level)とは、相互作用のないフェルミ粒子系(理想フェルミ気体)の絶対零度での化学ポテンシャルのことであり、と表される。

また理想フェルミ気体の化学ポテンシャルを、絶対零度では「フェルミエネルギー」、有限温度では「フェルミ準位」と区別して呼ぶこともある。このように定義した場合、絶対零度でフェルミ準位とフェルミエネルギーは等しくなる[1]

フェルミエネルギーでの占有数[編集]

理想フェルミ気体において、エネルギーがである準位を占有するフェルミ粒子の個数の統計的期待値は、次のフェルミ分布で表される。

絶対零度(基底状態)では、フェルミ分布は階段関数

になり、その不連続点がフェルミエネルギーである

金属[編集]

金属中の電子では、絶対零度でのフェルミ分布関数の不連続点にエネルギー準位が存在する。よってフェルミエネルギーは絶対零度での占有数の統計的期待値が1/2になるエネルギー準位に等しく、「絶対零度での電子の存在確率が1/2になるエネルギー」とも言われる[2]

また絶対零度では、フェルミエネルギーより高いエネルギー準位の占有数が0であることがわかる。よってフェルミエネルギーは「絶対零度におけるフェルミ粒子によって占められた準位のうちで最高の準位のエネルギー」とも言える[3]

結晶中の電子のエネルギーはバンド構造を形成する。フェルミエネルギーは、金属の場合には電子をバンドの底から詰めていき、その数が系の全電子数になったところの電子のエネルギーである。

半導体・絶縁体[編集]

半導体絶縁体の場合、フェルミエネルギーが伝導帯価電子帯の間のバンドギャップの中にあり、エネルギー準位が存在しない。よって金属では成り立っていた「フェルミエネルギー = フェルミ粒子が占有している最も高いエネルギー準位」は、半導体・絶縁体では成り立たない。またフェルミエネルギーでのフェルミ分布関数の値1/2に、占有数の期待値という意味は無い。

1次元井戸型ポテンシャル[編集]

一辺がLである箱の中にN個のフェルミ粒子(スピン1/2)があるときを考える。 この場合を表すモデルは、1次元の無限に深い長さL井戸型ポテンシャルである。 この井戸型ポテンシャル中のフェルミ粒子のエネルギー準位は量子数nでラベル付けされる。

ここではフェルミ粒子が箱から受けるポテンシャルエネルギーである。

それぞれのエネルギー準位でスピン1/2(上向きスピン)と−1/2(下向きスピン)という異なる2つの状態が可能であるため、2つの粒子が同じエネルギーをとれるが、3つ以上の粒子は同じエネルギーをとれない。 絶対零度では全エネルギーが最低である電子配置をとる(基底状態)。このときn = N/2までの全てのエネルギーは占有され、それよりエネルギーが高い準位は全て空である。

フェルミエネルギーの基準をとなるように定義すると、奇数個の電子(N − 1)または偶数個の電子(N)のフェルミエネルギーは次のように与えられる。

3次元の場合[編集]

3次元の等方的な場合はフェルミ球として知られる。

ここで一辺が長さLである3次元立方体の箱を考える(無限に深い井戸型ポテンシャルを参照)。 これは金属中の電子を記述するのに良いモデルとなる。

ここで状態は3つの量子数 nx, ny,nzでラベル付けされている。 1粒子エネルギーは、

nx, ny, nzは正の整数、mはフェルミ粒子(この場合は電子)の質量である。同じエネルギーをもつ複数の状態がある(たとえば)。N個の相互作用のないスピン1/2のフェルミ粒子をこの箱に入れる。このフェルミエネルギーを計算するために、Nが大きい場合を見てみる。

ベクトルを導入すると、それぞれの量子状態はエネルギー

をもつn空間の点に対応する。 は通常のユークリッド長さの二乗を表す。 エネルギーがEF +  E0以下の状態の数は、 EF +  E0が正であるn空間の領域での半径の球の中にある状態の数に等しい。 基底状態におけるこの数は、系のフェルミ粒子の数に等しい。

最低エネルギーを占有する自由フェルミ粒子は運動量空間で球を作る。この球の表面はフェルミ面である。

2つのスピン状態があるため因子2がつき、全てのnが正である領域には球の1/8だけがあるため、因子1/8がつく。 よって

よってフェルミエネルギーは次式で与えられる。

これから(L2V2/3に置き換えると)フェルミエネルギーと体積あたりの粒子数との関係が得られる。

個のフェルミ粒子のフェルミ球の全エネルギーは次式で与えられる。

よって電子の平均エネルギーは次のように与えられる。

関連する量[編集]

このフェルミエネルギーの定義を使うと、様々な関連する量が有用になりえる。 フェルミ温度は次のように定義される。

ここではボルツマン定数、はフェルミエネルギーである。 フェルミ温度は、熱的効果がフェルミ統計に関連する量子的効果に匹敵する温度として考えることができる。 [4] 金属のフェルミ温度は室温より何桁も大きい。

その他の量としてフェルミ運動量フェルミ速度がある。

ここでは電子の質量である。 これらの量はそれぞれ、フェルミ面でのフェルミ粒子運動量群速度である。 フェルミ運動量はとして書くこともできる。 ここではフェルミ球の半径であり、フェルミ波数ベクトルと呼ばれる。 [5]

例:自由電子系でのフェルミエネルギー: プランク定数フェルミ波数:電子の質量)。

これらの量は、フェルミ面が球でない場合にはwell-definedではない。 上述のような2次の分散関係の場合は[6]を参照。

任意の次元の場合[編集]

次元の体積積分を使うと、状態密度は、

粒子数を求めることにより、フェルミエネルギーを抽出できる。

よって

ここでは内部ヒルベルト空間の次元であり、スピンの場合は2である。

典型的なフェルミエネルギー[編集]

金属[編集]

自由電子模型では、金属中の電子はフェルミ気体を作ると考えることができる。 金属の伝導電子の数密度はおよそ1028から1029 electrons/m3であり、通常の固体物質での原子の典型的な密度でもある。 この数密度は次のオーダーのフェルミエネルギーを作る。

参考文献[編集]

  1. ^ 半導体の分野では「フェルミエネルギー」と「フェルミ準位」は同義語として扱うことが多い。例:Electronics (fundamentals And Applications) by D. Chattopadhyay, Semiconductor Physics and Applications by Balkanski and Wallis.
  2. ^ タウア・ニン 最新VLSIの基礎, Yuan Taur・Tak H. Ning・芝原健太郎・宮本恭幸・内田建, 丸善出版, 2013年1月.
  3. ^ キッテル 固体物理学入門, Charles Kittel・宇野良清・津屋昇・新関駒二郎・森田章・山下次郎, 丸善出版, 2005年12月.
  4. ^ Introduction to Quantum Statistical Thermodyamics”. Utah State University Physics. 2014年4月23日閲覧。[リンク切れ]
  5. ^ Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0-03-083993-9. 
  6. ^ Fermi level and Fermi function, from HyperPhysics

関連用語[編集]

関連項目[編集]