フィッシャーの方程式

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フィッシャー=KPP方程式の数値シミュレーション。解u(t,x)は色で表現され、進行波の理論速度に対応する傾斜がドットで表現されている。

数学におけるフィッシャーの方程式(フィッシャーのほうていしき、: Fisher's equation)あるいはフィッシャー=コルモゴロフ方程式またはフィッシャー=KPP方程式として知られる方程式は、ロナルド・フィッシャー(およびアンドレイ・コルモゴロフ)の名にちなむ、次の偏微分方程式のことを言う:

 \frac{\partial u}{\partial t}=u(1-u)+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.\,

フィッシャーはこの方程式を、優性アレルの空間伝播を表現するために提唱し、その進行波解を発見した[1]。任意の波速度 c ≥ 2 に対し、フィッシャーの方程式には次の形式で記述される進行波が存在する:

 u(x,t)=v(x \pm ct)\equiv v(z),\,

ここで \textstyle v は増加函数であり、

 \lim_{z\rightarrow-\infty}v\left(  z\right)  =0,\quad\lim_{z\rightarrow\infty }v\left(  z\right)  =1

が成立する。すなわち、この解は平衡状態 u = 0 からもう一つの平衡状態 u = 1 へと移るものである。但し、c < 2 に対してはそのような解は存在しない[2][3][4]。与えられた波速度に対し、その波形は一意に定まる。

特別な波速度 c=\pm 5/\sqrt{6} に対して、すべての解は閉形式

 v(z) = \left( 1 + C \mathrm{exp}\left(\pm{z}/{\sqrt6}\right) \right)^{-2}

で記述される[5]。ここで C は任意であり、上述の極限についての条件は C>0 に対して成立する。

フィッシャーの方程式は、ことによると、半線型反応拡散方程式

 \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u+F\left(  u\right)

の最も簡単な例かも知れない。ここでその方程式は、 f(u) = 0 で与えられる平衡状態の間を移る進行波解を見せるものである。そのような方程式は、例えば、生態学生理学燃焼結晶化プラズマ物理、および一般的な相転移の問題において現れる。

進行波解の存在の証明や、それらの性質の解析は、しばしば位相空間法によって行われる。

参考文献[編集]

  1. ^ Fisher, R. A., The genetical theory of natural selection. Oxford University Press, 1930. Oxford University Press, USA, New Ed edition, 2000, ISBN 978-0-19-850440-5, variorum edition, 1999, ISBN 0-19-850440-3
  2. ^ R. A. Fisher. "The wave of advance of advantageous genes", Ann. Eugenics 7:353–369, 1937.
  3. ^ A. Kolmogorov, I. Petrovskii, and N. Piscounov. A study of the diffusion equation with increase in the amount of substance, and its application to a biological problem. In V. M. Tikhomirov, editor, Selected Works of A. N. Kolmogorov I, pages 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1. Translated by V. M. Volosov from Bull. Moscow Univ., Math. Mech. 1, 1–25, 1937
  4. ^ Peter Grindrod. The theory and applications of reaction-diffusion equations: Patterns and waves. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, second edition, 1996 ISBN 0-19-859676-6; ISBN 0-19-859692-8.
  5. ^ Ablowitz, Mark J. and Zeppetella, Anthony, Explicit solutions of Fisher's equation for a special wave speed, Bulletin of Mathematical Biology 41 (1979) 835–840

関連項目[編集]

外部リンク[編集]