ヒルベルト・サミュエル関数

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可換環論において可換ネーター局所環 A 上有限生成な 0 でない加群 MA準素イデアル Iヒルベルト・サミュエル関数 (Hilbert–Samuel function) は、David HilbertPierre Samuel英語版 にちなんで名づけられているが[1]、写像 であってすべての に対して

であるようなものである、ただし A 上の長さを表す。それは伴う次数加群英語版 ヒルベルト関数英語版と恒等式

によって関連付けられる。十分大きい に対して、それは次数が に等しい多項式関数と一致する[2]

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二変数の形式的冪級数 を自身の上の加群と考え順序によって次数付け、イデアルを単項式 x2y3 によって生成されたものとすると、

[2]

次数の制限[編集]

ヒルベルト関数とは違って、ヒルベルト・サミュエル関数は完全列に対して加法的でない。しかしながら、アルティン・リースの補題の結果として、それはなお加法的であることにある程度近い。 でヒルベルト・サミュエル多項式を表記する。すなわち、それは十分大きい整数に対してヒルベルト・サミュエル関数と一致する。

をネーター局所環とし、I を m-準素イデアルとする。

が有限生成 R-加群の完全列で、 の長さが有限であれば[3][4]

ただし F は次数が の次数よりも真に小さい多項式で、正の leading coefficient をもつ。とくに、 であれば、 の次数は の次数よりも真に小さい。

証明: 与えられた完全列を でテンソルして核を計算すると、完全列

を得、これから

.

右辺第三項はアルティン・リースによって評価できる。実際、補題によって、大きい n とある k に対して、

したがって、

.

これは望んだ次数の制限を与える。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ H. Hironaka, Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: I. Ann. of Math. 2nd Ser., Vol. 79, No. 1. (Jan., 1964), pp. 109-203.
  2. ^ a b Atiyah, M. F. and MacDonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra. Reading, MA: Addison–Wesley, 1969.
  3. ^ これは もまた有限の長さをもつことを意味する。
  4. ^ Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8. Lemma 12.3.