ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理

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ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理(Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)とは、1954年にフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により証明された高次元の複素代数多様体に対するリーマン・ロッホの定理の一般化である。この定理のさらなる一般化としてグロタンディーク・ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理英語版およびアティヤ=シンガーの指数定理がある。

ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理の内容[編集]

コンパクト複素多様体 X 上の任意の正則ベクトルバンドル E に対し、その層係数コホモロジーの次元の交代和

 \chi(X,E) = \sum_{i=0}^{\dim_{\mathbb{C}} X} (-1)^{i} \dim_{\mathbb{C}} H^{i}(X,E)

を E のオイラー数とよぶ。ヒルツェブルフの定理は、オイラー数 χ(X, E) を E のチャーン類と X のトッド類(正確には X の接ベクトル束のトッド類)から計算できるという定理である。E のチャーン指標を ch(E) とし、X のトッド類を td(X) とすると、定理は

 \chi(X,E) = \int_X \operatorname{ch}(E) \operatorname{td}(X)

と書ける。ここで、ch(E)td(X) は X のコホモロジー環における積で、このコホモロジー類と X の基本類とのペアリングを X 上での積分として書き表した。

リーマン・ロッホの定理[編集]

X が 1 次元の場合、すなわちリーマン面の場合、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理から古典的なリーマン・ロッホの定理である。E を X 上の階数 1 のベクトル束(すなわち直線束)とする。E に対応して曲線上の因子 (代数幾何学) D が存在して E = O(D) となる。これのチャーン指標は 1+D となる。またトッド類は 1 + c1(T(X))/2 であり、T(X) が標準束の双対であることから、これは K を標準因子として 1 - K/2 となる。ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理から

h^0(\mathcal{O}(D)) - h^1(\mathcal{O}(D)) = \deg(D-\frac{1}{2}K)

となる。

しかし、h0(O(D)) は l(D) に一致し、セール双対性により h1(O(D)) = h0(O(K − D)) = l(K − D) である。さらに、K の次数は g を曲線 X 種数として 2g - 2であるため、古典的なリーマン・ロッホの定理

\ell(D)-\ell(K-D) = \text{deg}(D)+1-g

を得る。

ベクトルバンドル V に対し、チャーン指標は rank(V) + c1(V) であるので、曲線のベクトルバンドルのヴェイユのリーマン・ロッホの定理

h^0(V) - h^1(V) = c_1(V) + \text{rank}(V)(1-g)

を得る。

曲面のリーマン・ロッホの定理[編集]

X を曲面とし、D を X 上の因子として直線束 E = O(D) のオイラー数を計算する。E のチャーン指標は ch(E) = 1+ D + D2/2 である。また X のトッド類は td(X) = 1 - K/2 + (K2 + c2(X))/12 となる。ここで K は X の標準因子で c2(X) は X の接束の第2チャーン類をあらわす。このときヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理は、

\chi(\mathcal{O}(D))=\frac{1}{2}D(D-K)+\frac{1}{12}(K^2+c_2(X))

である。ここで D = 0 とすると、ネターの公式

\chi(\mathcal{O})=\frac{1}{12}(K^2+c_2(X))

を得る事ができ、上の式は

\chi(\mathcal{O}(D)) = \chi(\mathcal{O}) + \frac{1}{2}D(D-K)

と書く事もできる。

参考文献[編集]