ハミルトン-ヤコビ方程式

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物理学においてハミルトン-ヤコビ方程式(Hamilton-Jacobi equation)とは古典力学の再定式化であり、ニュートンの運動方程式ラグランジュ力学ハミルトン力学などの他の定式化と同値である。ハミルトン-ヤコビ方程式は力学系において保存される量を探し出す場合に特に便利であり、それはたとえ力学の問題それ自身が完全には解けない場合にでさえも可能である。

ハミルトン-ヤコビ方程式はまた、粒子の運動がとして表現される唯一の力学の定式化である。この視点から、ハミルトン-ヤコビ方程式は理論物理学の長らくの目標(少なくとも18世紀、ヨハン・ベルヌーイ以来)である、光の伝播と粒子の運動との類似性を見出す試みを達成したと見ることも出来る。力学系から得られる波動方程式は以下に示すとおり、シュレーディンガー方程式と、完全にではないがよく似ている。ハミルトン-ヤコビ方程式はこのような理由で、最も量子力学に近い古典力学の扱いであると考えられている。

数学的な定式化[編集]

ハミルトン-ヤコビ方程式はハミルトンの主関数(Hamilton's principal function)S(q_{1},\dots,q_{N}; t)に対する、一階の非線形偏微分方程式として以下のように表される。


H\left(q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

後の節で示すように、この方程式はハミルトン力学において、Sを古典的なハミルトニアンH(q_{1},\dots,q_{N};p_{1},\dots,p_{N};t)正準変換の母関数と見なすことにより導かれる。共役な運動量には一般化座標によるSの一階の微分


p_{k} = \frac{\partial S}{\partial q_{k}}.

が相当し、それは以下のように示される。 運動の経路をわずかに変化させた場合の作用の変化は以下により与えられる。

\delta S=\sum_{i=1}^N\left[\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}}\delta q_k\right]_{t_1}^{t_2}+\sum_{i=1}^N\int_{t_1}^{t_2}\left(\frac {\partial L}{\partial q_k} - \frac {d}{d t}  \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right)\delta q_k \,dt.

実際に起こる運動の経路はオイラー=ラグランジュ方程式を満たすことから、\delta Sの積分の項はゼロである。最初の項で\delta q_k(t_1)=0とし、 \delta q_k(t_2)を簡単に \delta q_kと書く。\partial L/\partial \dot{q}_{k}p_kと置き換え、最終的に

\delta S=\sum_{i=1}^N p_k \delta q_k.

が得られる。この関係から、座標による作用偏微分は、対応する運動量に等しいことが示された。 
Q.E.D.
同様に、一般化座標は下記のように、運動量の微分として得られる。式を逆に解いて、系の発展を得ることが出来る。すなわち、一般化座標が時間の関数として得られる。始状態での位置と速度は、Sの積分の中で定数として現れ、それらは全エネルギー角運動量、ラプラス-ルンゲ-レンツのベクトル(en:Laplace-Runge-Lenz vector)などの保存される量に対応する。

他の力学の記述との比較[編集]

ハミルトン-ヤコビ方程式は単一のN個の一般化座標 q_{1},\dots,q_{N} と時間 tの関数Sに対する一階の偏微分方程式である。一般化運動量はSの微分としてしか現れない。顕著な特徴であるが、Sは古典的な作用に等しい。

比較として、ラグランジュ力学での同値なオイラー=ラグランジュ方程式にも、共役な運動量はやはり現れない。しかし、それはN個のをなす、一般化座標の時間発展に関する一般には二階の微分方程式である。別の比較として、ハミルトンの正準方程式は同じように 2N個の、一般化座標とそれに共役なp_{1},\dots,p_{N}に対する一階の微分方程式の系である。

ハミルトン-ヤコビ方程式は、ハミルトンの原理の積分を最小化する問題と同値なので、ハミルトン-ヤコビ方程式は他の変分法の問題、あるいはさらに一般的な他の数学物理学の領域、たとえば力学系シンプレクティック幾何学量子カオスの問題などにおいても便利である。例として、ハミルトン-ヤコビ方程式はリーマン多様体において測地線を求めるのに用いられるが、これはリーマン幾何学における重要な変分問題である。

書法[編集]

以下では簡単のため、\mathbf{q}のような太字の変数でN個の一般化座標を表す。


\mathbf{q} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  (q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{N-1}, q_{N})

これらは回転操作ベクトルとしての変換を受ける必要はない。ドット積を、対応する成分の積の和として以下のように定義する。


\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} p_{k} q_{k}.

導出[編集]

第二種の母関数による正準変換G_{2}(\mathbf{q},\mathbf{P},t)は全て、以下のような関係を導く。


\qquad
{\partial G_{2} \over \partial \mathbf{q}} = \mathbf{p}, \qquad
{\partial G_{2} \over \partial \mathbf{P}} = \mathbf{Q}, \qquad
K = H + {\partial G_{2} \over \partial t}

(詳細は正準変換

ハミルトン-ヤコビ方程式を導くためには、新しいハミルトニアンKが恒等的にゼロになるような母関数S(\mathbf{q}, \mathbf{P}, t)を取る。するとハミルトニアンの全ての微分はゼロになり、正準方程式は以下のように自明な関係になる。


{d\mathbf{P} \over dt} = {d\mathbf{Q} \over dt} = 0

すなわち、新しい一般化座標と運動量は運動の定数(en:constant of motion、もしくは保存量)となる。新しい一般化運動量\mathbf{P}は通常\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{N-1}, \alpha_{N}ただしP_{m} = \alpha_{m}と書かれる。

ハミルトン-ヤコビ方程式は変換後のハミルトニアンKに対する方程式として、


K(\mathbf{Q},\mathbf{P},t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial S \over \partial t} = 0.

と導かれ、これは


H\left(\mathbf{q},{\partial S \over \partial \mathbf{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,

と、 \mathbf{p}=\partial S/\partial \mathbf{q}とすれば同値である。

新しい一般化座標\mathbf{Q}も同様に定数であり、\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{N-1}, \beta_{N}と書かれる。S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)について解けた場合、以下の便利な方程式が得られる。


\mathbf{Q} = \boldsymbol\beta = 
{\partial S \over \partial \boldsymbol\alpha}

あるいは明示的に成分で書くと


Q_{m} = \beta_{m} = 
\frac{\partial S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)}{\partial \alpha_{m}}

理想的に、これらN個の方程式は逆に解いて、元の一般化座標を定数\boldsymbol\alpha\boldsymbol\betaの関数として表せ、元の問題を解く事が出来る。

変数分離[編集]

ハミルトン-ヤコビ方程式は変数分離によって解かれる時に最も便利であり、その場合には保存量が直接的に求められる。例えば、ハミルトニアンが陽には時間tに依っていない場合、tを分離する事が出来る。そのとき、時間微分\frac{\partial S}{\partial t}は定数(通常-E)とならねばならず、分離された解


S = W(q_{1},\dots,q_{N}) - Et

を与える。時間に依存しない関数W(\mathbf{q})は時にハミルトンの特性関数と呼ばれる。簡約されたハミルトン-ヤコビ方程式は以下のようになる。


H\left(\mathbf{q},\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}} \right) = E

他に変数分離が可能な状況として、ある一般化座標q_{k} とその微分 \frac{\partial S}{\partial q_{k}}が一つの関数\psi \left(q_{k}, \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)を通してのみハミルトニアンの中に現れるような場合を考える。


H = H(q_{1},\dots,q_{k-1}, q_{k+1}, \ldots, q_{N};p_{1}, \dots, p_{k-1}, p_{k+1}, \ldots, p_{N}; \psi; t)

この場合、関数Sは二つの関数に分離でき、片方はq_{k}だけに依存して、他方は残りの一般化座標に依存する。


S = S_{k}(q_{k}) + S_{rem}(q_{1}, \dots, q_{k-1}, q_{k+1}, \ldots, q_{N}; t)

この形でハミルトン-ヤコビ方程式を置き換えると、関数\psiは定数(以下 \Gamma_{k})となる事が示され、S_{k}(q_{k})に関する一階の常微分方程式 が得られる。


\psi \left(q_{k}, \frac{d S_{k}}{d q_{k}} \right) = \Gamma_{k}

幸運な場合では、関数SN個の関数S_{m}(q_{m})に完全に分離され以下のようになる。


S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots+S_{N}(q_{N})-Et

この場合、問題はN個の常微分方程式に帰着する。

Sが変数分離可能かどうかは、ハミルトニアンの形と一般化座標の選び方の両方に依存する。直交座標でハミルトニアンが時間に依存せず、一般化運動量について二次式である場合に、以下の条件を満たせばSは分離可能である。すなわち、ポテンシャルエネルギーの項が加法的に各々の座標について分離可能で、各々の座標に対するポテンシャルエネルギーの項がハミルトニアンの対応する運動項と同じ座標依存の因子を掛けられている場合である(ステッケルの条件)。 直交座標におけるいくつかの例を以下の節に示す。

球座標の例[編集]

球座標におけるハミルトニアンは以下のように書かれる。


H = \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r, \theta, \phi)

ハミルトン-ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、Uが同じような形式


U(r, \theta, \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta}

U_{r}(r)U_{\theta}(\theta)U_{\phi}(\phi)は任意の関数)を持つ場合である。完全に分離された解S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - Etをハミルトン-ヤコビ方程式に代入すると以下が得られる。


\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + 
\frac{1}{2m r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] + 
\frac{1}{2m r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right]  = E

この式は常微分方程式の積分によって解け、最初に\phiに関する方程式は以下のようになる。


\left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi}

ただし\Gamma_{\phi}は運動の定数で、ハミルトン-ヤコビ方程式の\phi依存性は以下のように消去された。


\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + 
\frac{1}{2m r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] = E

次の常微分方程式は一般化座標\thetaを含む。


\left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta}

再び\Gamma_{\theta}は運動の定数で、\thetaは消去され、最後にハミルトン-ヤコビ方程式は常微分方程式


\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{2m r^{2}} = E

となり、これを積分するとSが求まる。

楕円柱座標の例[編集]

楕円柱座標(en:elliptic cylindrical coordinates)のハミルトニアンは以下のように書かれる。


H = \frac{p_{\mu}^{2} + p_{\nu}^{2}}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} + 
\frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\mu, \nu, z)

ここで楕円焦点x 軸上 \pm{a} の点にある。ハミルトン-ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、 U が以下のように同じような形で与えられた場合である。


U(\mu, \nu, z) = \frac{U_{\mu}(\mu) + U_{\nu}(\nu)}{\sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu} + U_{z}(z)

ただしU_{\mu}(\mu),、U_{\nu}(\nu)U_{z}(z)は任意の関数である。完全に分離された解S = S_{\mu}(\mu) + S_{\nu}(\nu) + S_{z}(z) - Etをハミルトン-ヤコビ方程式に代入することにより以下が得られる。


\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) + 
\frac{1}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} \left[ \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu)\right] = E

最初の常微分方程式、


\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}

を分離し、変形して両辺に分母を掛けると以下の簡約されたハミルトン-ヤコビ方程式が得られる。


\left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) = 2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right) \left( E - \Gamma_{z} \right)

さらにこれは独立な二つの常微分方程式


\left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - E \right) \sinh^{2} \mu = \Gamma_{\mu}


\left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - E \right) \sin^{2} \nu  = \Gamma_{\nu}

に分離でき、これらを解けばSの完全な解が得られる。

放物線柱座標の例[編集]

放物線柱座標(en:parabolic cylindrical coordinates)におけるハミルトニアンは


H = \frac{p_{\sigma}^{2} + p_{\tau}^{2}}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2}\right)} + 
\frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\sigma, \tau, z)

ハミルトン-ヤコビ方程式が完全に分離可能なのは、Uが以下のように同じような形で与えられた場合である。


U(\sigma, \tau, z) = \frac{U_{\sigma}(\sigma) + U_{\tau}(\tau)}{\sigma^{2} + \tau^{2}} + U_{z}(z)

U_{\sigma}(\sigma)U_{\tau}(\tau)U_{z}(z)は任意関数である。完全に分離されたS = S_{\sigma}(\sigma) + S_{\tau}(\tau) + S_{z}(z) - Etをハミルトン-ヤコビ方程式に代入し、


\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) + 
\frac{1}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left[ \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau)\right] = E

最初の常微分方程式


\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}

を分離し、変形して両辺に分母を掛けると以下の簡約されたハミルトン-ヤコビ方程式が得られる。


\left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau) = 2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) \left( E - \Gamma_{z} \right)

さらにこれは独立な二つの常微分方程式


\left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m\sigma^{2} \left(\Gamma_{z} - E \right) = \Gamma_{\sigma}


\left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\tau}(\tau) + 2m \tau^{2} \left(\Gamma_{z} - E \right) = \Gamma_{\tau}

に分離でき、これらを解けばSの完全な解が得られる。


アイコナール近似と、シュレーディンガー方程式との関係[編集]

関数S(\mathbf{q}; t)の、三次元空間における等高線(en:isosurface)は、すべての時間tについて定められる。あるSの等高線の、時間の関数としての運動は、等高線上のある点\mathbf{q}から始まる粒子の運動により定義される。そのような等高線の運動は\mathbf{q}空間を運動する波動と考える事が出来るが、その運動は完全に波動方程式に従うわけではない。これを示すため、Sで波の位相を表すようにすると


\psi = \psi_{0} e^{iS/\hbar}

ここで\hbarは指数関数の引数を無次元にするために導入した定数である。波の振幅Sを複素数にする事によって表現する。そうしてハミルトン-ヤコビ方程式を書き直すと


\frac{\hbar^{2}}{2m\psi} \left( \boldsymbol\nabla \psi \right)^{2} - U\psi = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t}

これはシュレーディンガー方程式非線形な変種である。

逆に、シュレーディンガー方程式と\psiに関するen:Ansatzからスタートすると以下のようになる。


\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^{2} S

上のシュレーディンガー方程式の古典極限 (\hbar \rightarrow 0)が、以下のようなハミルトン-ヤコビ方程式の変種と等しい事が分かった。


\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

重力場中でのハミルトン-ヤコビ方程式[編集]

g^{ik}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{k}}} - m^{2}c^{2} = 0

g^{ik}計量テンソル共変な成分であり、mは粒子の静止質量c光速である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826.
  • Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518.
  • H. Goldstein (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3. 
  • A. Fetter and J. Walecka (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 0-486-43261-0. 
  • Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.

外部リンク[編集]