テント写像

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テント写像の分岐図

テント写像(テントしゃぞう、: tent map)は、力学系あるいはカオス理論における基礎的な写像の一つである。パラメータ(定数)を一つ持つ、以下のような区分線形関数 f(x) で与えられる。

テント写像は最も簡素な単峰写像の例であり、カオス力学系の教科書などでもしばしば採り上げられる[1]

写像[編集]

テント写像のグラフ

テント写像 f: RR は、xR, μR≥ 0 として次のように与えられる。

nZ> 0 として、f(x)n反復合成fn(x) と表す。すなわち、f0(x) = x, f1(x) = f(x), f2(x) = f(f1(x)), f3(x) = f(f2(x)), ... であるとする。fn(x) の軌道は、

という数列となる。ここで x0 は軌道の初期値である。xnxn+1漸化式の形では、

である。テント写像では単位区間の範囲で初期値を与えるのが一般的である[2]。以下でも特に断りがない限り、x0I = [0, 1] である。

テント写像のグラフは点 (1/2, μ/2) を頂点とした区分線形曲線となる。グラフはテントのような形をしており、このためテント写像と呼ばれる[3]。テント写像の初期値鋭敏性を示すリアプノフ指数 λ は、傾き絶対値μ で一定であるため λ = ln μ と求めることができる[4]

解の振る舞い[編集]

0 < μ ≤ 1[編集]

クモの巣図法で描かれた μ = 0.6 のときのテント写像の軌道の様子。図は3つの初期値からの軌道を示しており、左側(黄色)が x0 = 0.35、中央(紫)が x0 = 0.5、右側(緑)が x0 = 0.75 となっている。

まず、パラメータが 0 < μ < 1 のとき、x = 0xn + 1 = xn を満たす不動点である。この不動点は漸近安定かつ大域安定で、任意の x0 の軌道全ては n → ∞0 へと収束する[1]

μ = 1 のときも軌道は不動点に収束するが、このときは区間 [0, 1/2] 上の点全てが不動点となる。すなわち、x0 ∈ [0, 1/2] であれば全ての n について xn = x0 であり、x0 ∈ (1/2, 1] であれば n ≥ 1 について xn = 1 − x0 である。このときの各不動点の安定性はリアプノフ安定な状態にある[2]

1 < μ ≤ 2[編集]

μ1 を超えると、xf1 = 0 に加えて xf2 = μ/(μ + 1) が不動点となる。ただし、df(xf1)/dx および df(xf2)/dx の値は 1 を超えるため、これらの不動点は不安定となる[2]。さらに、1 < μ では軌道が周期的になる初期値が現れる。このとき、周期2, 周期3, 周期4,...といったように2以上の全ての自然数に対応する周期軌道が存在している[1]。例えば、周期2であれば2つの周期点 xp1, xp2 は次のように明示的に求めることができる[3]

1 < μ < 2 の範囲では、x は複数の小領域を交互に行き来する不規則な軌道となり、カオス軌道となる[3][5]。そして、2 < μ < 2 の範囲では1つの領域内で x が変動するようになる[5]1 < μ < 2 の範囲におけるカオス軌道の取り得る範囲は μ の増加に従って徐々に大きくなっていき、最終的には μ = 1単位区間 [0, 1] に一致する。その間の範囲 [μ(2 − μ)/4, μ/2] で与えられる[3]

μ = 2 のとき、区間 [0, 1] 全域に軌道が及ぶ。このとき、デバニー英語版の定義で μ = 2 のテント写像 fμ = 2 (x) はカオス的である[6]。また、テント写像 fμ = 2 (x) は、パラメータ a = 4ロジスティック写像 ga = 4 (y)位相共役な関係にある[7]。すなわち、h(x) ∘ fμ = 2(x) = ga = 4(y) ∘ h(x) を満たす同相写像 h(x) を取ることができ、それは

である。ここで 写像の合成を意味する。

出典[編集]

  1. ^ a b c Jack Heidel (15 January 1990). “The existence of periodic orbits of the tent map”. Physics Letters A (Elsevier B.V.) 143 (4-5): 195–201. doi:10.1016/0375-9601(90)90738-A. 
  2. ^ a b c 瀬野 裕美、2016、「付録E テント写像の分岐解析」、『数理生物学講義 : 【基礎編】 数理モデル解析の初歩』初版、 共立出版 ISBN 978-4-320-05781-4 pp. 179–185
  3. ^ a b c d 船越満明、2008、『カオス』初版、 朝倉書店〈シリーズ 非線形科学入門3〉 ISBN 978-4-254-11613-7 pp. 65–70
  4. ^ Steven H. Strogatz、田中久陽・中尾裕也・千葉逸人(訳)、2015、『ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6 p. 402
  5. ^ a b David Peak; Michael Frame. “Exercises for Chaos Under Control, Chapter 4: The Tent Map 24. (a) Answer”. Chaos Under Control. 2018年4月15日閲覧。
  6. ^ Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木紳・三波篤朗・谷川清隆・辻井正人(訳)、2007、『力学系入門 原著第2版―微分方程式からカオスまで』初版、 共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1 pp. 349–351
  7. ^ K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、シュプリンガー・ジャパン(編)、津田一郎(監訳)、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏(訳)、2012、『カオス 第1巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4 pp. 124–127

外部リンク[編集]

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