ソボレフ共役

数学において、空間の次元を n とするとき、$1\leq p<n$ を満たす p のソボレフ共役（ソボレフきょうやく、英: Sobolev conjugate）は

$p^{*}={\frac {pn}{n-p}}>p$

で与えられる。このパラメータは特にソボレフ不等式において重要となる。

動機

ある q >p に対し、ソボレフ空間 $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$ の元 u が $L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ に属するかという問題が考えられる。より具体的に、$\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ が $\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ を制御するのはいつか、という問題が考えられる。次の不等式が任意の q に対して成立することはないということは、容易に確かめられる。

$\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C(p,q)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ (*)

コンパクトな台を持つ無限回微分可能な函数 $u(x)\in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ を考える。$u_{\lambda }(x):=u(\lambda x)$ とすると、次が成り立つ。

$\|u_{\lambda }\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{q}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u(\lambda x)|^{q}dx={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u(y)|^{q}dy=\lambda ^{-n}\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}^{q}$

$\|Du_{\lambda }\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{p}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\lambda Du(\lambda x)|^{p}dx={\frac {\lambda ^{p}}{\lambda ^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|Du(y)|^{p}dy=\lambda ^{p-n}\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}^{p}$

$u_{\lambda }$ に対する不等式 (*) の結果、$u$ に対する次の不等式が得られる。

$\|u\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\leq \lambda ^{1-n/p+n/q}C(p,q)\|Du\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$

$1-n/p+n/q\not =0$ なら、$\lambda$ をゼロあるいは無限大とすることで矛盾が導かれる。したがって不等式 (*) は

$q={\frac {pn}{n-p}}$

に対してのみ成立する。これがソボレフ共役である。

関連項目

• セルゲイ・ソボレフ

参考文献

• Lawrence C. Evans. Partial differential equations. Graduate studies in Mathematics, Vol 19. American Mathematical Society. 1998. ISBN 0-8218-0772-2