スツルム=リウヴィル型微分方程式

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スツルム=リウヴィル型微分方程式(-がたびぶんほうていしき、: Sturm–Liouville equation)とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム英語版 (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式

 

 

 

 

(1 )

のことである。ここで y関数であり、x実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、 w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。

y = 0 (for ∀x )は任意のλに対して('1')の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。

予め決められた境界条件のもとで、自明でない('1')の解 y が存在するようなλを見つけることをスツルム=リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値y固有関数と呼ぶ。

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微分方程式('1')の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式

は以下のように、

Sturm–Liouville 形式に変形することができる。

たとえば ベッセル方程式

とSturm–Liouville 形式に変形できる。

その他の例としては、

ルジャンドルの微分方程式

エルミートの微分方程式

ラゲールの微分方程式

がある。

Sturm–Liouville 理論[編集]

p (x ) > 0, w (x ) > 0 が成り立ち、かつ、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が有限閉区間 [ab]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

(3)

を持つとき、この境界値問題をスツルム=リウヴィル型の境界値問題という。


スツルム=リウヴィル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論):

  • 固有値はすべて実数で、離散的な値をとる。固有値は最小値をもつが最大値は持たない。
  • 固有値を小さい順にλ1 , λ2 , λ3 , ... と番号をつけると、固有値 λn に対応する固有関数 yn (x ) は定数倍をのぞいて実関数として一意に存在し、開区間 (ab) にn −1 個の零点を持つ。
  • 規格化された固有関数は、境界条件(2)(3)を満たす関数のつくるヒルベルト空間において、正規直交基底を形成する。ただし、内積 で定義される。


なお、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つ(弱解)と考えなければいけない。

関連項目[編集]

参考文献[編集]