コーシー–アダマールの定理

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コーシー–アダマールの定理(コーシー–アダマールのていり)とは、複素解析学の定理の1つであり、フランス数学者オーギュスタン・ルイ・コーシージャック・アダマールにちなんで命名された。

定理[編集]

一複素変数 z に関する、以下のような冪級数を考える。

f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}.

ここで a,c_n\in\mathbb{C} とする。このとき、f収束半径は以下のように与えられる。

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \big( | c_{n} |^\frac{1}{n} \big).

ただし、上極限 (lim sup) は次のように定義される。

\limsup_{n\to\infty} u_n:=\lim_{n\to\infty}\sup\{u_k:k\geq n\}.

なお、supは上限を意味する。