グレイシャー・キンケリンの定数

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数学において、グレイシャー・キンケリンの定数(Glaisher–Kinkelin constant)、またはグレイシャーの定数は、K関数バーンズのG関数に関連する数学定数であり、通常Aとかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数などに関係する多くの和や積分に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者であるジェームズ・ウィットブレッドリー・グレーシャー英語版ヘルマン・キンケリン英語版である。

グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。

  オンライン整数列大辞典の数列 A074962.

定義[編集]

グレイシャー・キンケリンの定数は、

極限である。ここで、K関数である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似との類似性が見つかる。

πは階乗Aは階乗の類似物であるK関数 により表されている。

バーンズのG関数、 (ここでガンマ関数)を用いた、以下のような式もある。

.

グレーシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分の特定の値の評価に現れる。

ここで、オイラーの定数である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。

以下は、この定数を含むいくつかの積分である。

この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。

参考文献[編集]

  • Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2005). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". arXiv:math.NT/0506319
  • Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). “Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”. Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. doi:10.1007/s11139-007-9102-0.  (Provides a variety of relationships.)
  • Weisstein, Eric W. "Glaisher–Kinkelin Constant". MathWorld (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function". MathWorld (英語).

関連項目[編集]

外部リンク[編集]