グラム行列

線形代数学において正方行列 ${\boldsymbol {A}}$ が与えられたとき, ${\boldsymbol {A}}^{*}{\boldsymbol {A}}$ を ${\boldsymbol {A}}$ のグラム行列(ぐらむぎょうれつ, 英: Gram matrix)という。ここで、 ${\boldsymbol {A}}^{*}$ は ${\boldsymbol {A}}$ の随伴である。

${\boldsymbol {A}}=({\boldsymbol {a}}_{1}\dots {\boldsymbol {a}}_{n})$ であるとき, ${\boldsymbol {A}}$ のグラム行列の $(i,j)$ 成分は ${\boldsymbol {C}}^{n}$ における標準内積を用いて $\langle {\boldsymbol {a}}_{i},{\boldsymbol {a}}_{j}\rangle$ と表せる。このことから、内積空間の $n$ 個のベクトル ${\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$ が与えられたときに $\langle {\boldsymbol {x}}_{i},{\boldsymbol {x}}_{j}\rangle$ を $(i,j)$ 成分にもつ行列のこともグラム行列という。