クモの巣図法

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クモの巣図法のアニメーション

クモの巣図法(クモのすずほう)とは、一次元離散力学系の振る舞いをグラフを用いて図式的に表す手法。英語ではcobweb diagramweb diagramcobweb plot などと呼ばれる[1][2]

手順[編集]

ある差分方程式 xn+1 = f(xn) 、初期値 x0 が与えられるとき、まず、縦軸を xn+1、横軸をxn としたグラフ上で、f(xn) の曲線を描く[3]。次に、傾き1の45°の線、すなわち xn+1 = xnの線を曲線に重ねて描く[3]。その後、次のような手順を繰り返す[4]

  1. 横軸 x0 の点から曲線 f に突き当たるまで垂直に直線を引く。垂直直線が突き当たる曲線上の点の座標は (x1, x0) となる。
  2. 点 (x1, x0) から、今度は水平に直線を、傾き1の線に突き当たるまで引く。水平直線と傾き1の線が交わる点は (x1, x1) となる。
  3. 点 (x1, x1) から、曲線 f に突き当たるまで垂直に直線を引く。交わる点は (x2, x1) となる。
  4. 点 (x2, x1) から、傾き1の線に突き当たるまで水平に直線を引く。交わる点は (x2, x2) となる。
  5. あとは 3 ⇒ 4 ⇒ 3 ⇒ 4...の順で、手順3, 4を交互に繰り返す。

出来上がる図は、曲線と45°の線の間に線が張り巡らされたような図となっており、このことからクモの巣図法と呼ばれる[5]。行っていること自体は、解の挙動 x1, x2, x3, x4,...を順に計算していることと同じである。 しかし、クモの巣図法を用いることで、解の挙動が一目でわかる全体像が得られる利点がある[6]

脚注[編集]

  1. ^ Strogatz 2015, p. 307.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Web Diagram". MathWorld (英語). 2016年1月17日閲覧
  3. ^ a b アリグッド, サウアー, ヨーク 2012, pp. 3–4.
  4. ^ Hirsch et al. 2007, p. 339.
  5. ^ マレー 2014, p. 43.
  6. ^ Strogatz 2015, p. 383.

参考文献[編集]

  • K.T.アリグッド, T.D.サウアー, J.A.ヨーク、シュプリンガー・ジャパン(編)、津田一郎(監訳)、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏(訳)、2012、『カオス 第1巻 力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06223-4
  • ジェームス・D・マレー、三村昌泰(総監修)、瀬野裕美・河内一樹・中口悦史・三浦岳(監修)、勝瀬一登・吉田雄紀・青木修一郎・宮嶋望・半田剛久・山下博司(訳)、2014、『マレー数理生物学入門』初版、丸善出版 ISBN 978-4-621-08674-2
  • Steven H. Strogatz、田中久陽・中尾裕也・千葉逸人(訳)、2015、『ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
  • Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木紳・三波篤朗・谷川清隆・辻井正人(訳)、2007、『力学系入門 原著第2版―微分方程式からカオスまで』初版、共立出版 ISBN 978-4-320-01847-1

外部リンク[編集]