カーダー・パリージ・ザン方程式

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カーダー-パリージ-ザン方程式 (Kardar-Parisi-Zhang equation) は、メヘラーン・カールダール (Mehran Kardar)、ジョルジオ・パリージ (Giorgio Parisi)、イー・チャン・ジャン (Yi-Cheng Zhang) らによって提案された[1]ランジュバン型非線形確率偏微分方程式 (stochastic partial differential equation, SPDE) であり、結晶界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ 方程式と略記される。

は、時刻 での における界面の高さを表し、表面張力 は非線形効果の強さ、 は確率的なノイズを表す。 また、ノイズ項 は次の条件を満たす白色ガウスノイズ (Gaussian noise) であるとし、界面の高さ は、オーバーハングを無視するため、 に対する一価関数であることを仮定する。

ここで は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、ディラックのデルタを表す。また はノイズの強さである。

方程式の構成[編集]

右辺第二項の非線形項 がなければ、方程式はエドワーズ-ウィルキンソン方程式 (Edwards-Wilkinson equation, EW eq.)[2] になる。 界面の傾きを とし、その方向に速度 で界面が成長すると考えると、微小時間 の間に、界面の高さは だけ変化する。 と置き換えられることに注意すれば、

テイラー展開することができる。展開の第一項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第二項の非線形項であり、これが KPZ 方程式の非線形項を与える。

方程式の変形[編集]

コール-ホップ変換 (Cole-Hopf transformation)[編集]

高さの関数 を関数 を用いて、 と変換すると、KPZ 方程式は以下のように書き直される (対数の微分 を計算してから を両辺に掛ける)。

これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。 この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。

上記の経路積分より、 は、 を結ぶ、 次元空間上の方向付きの高分子 (directed polymer, DP) のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる[3][4]

バーガース方程式 (Burgers' equation)[編集]

別の有用な変換として、ベクトル場 を用いて、界面の高さ で書き換えると、方程式は以下の形になる (KPZ 方程式の各項について を左から掛ける)。

ここで と置けば、これは を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。 あるいは を改めて に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。

スケーリング[編集]

[要出典] KPZ 方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、

ノイズ について、 の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、

と変換されるので、バーガース方程式は、

となる。ここで の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 , について、 が成り立つことになる。

参考文献[編集]

  1. ^ M. Kardar, G. Parisi, and Y.-C. Zhang, Dynamic Scaling of Growing Interfaces, Physical Review Letters, Vol. 56, 889 - 892 (1986). APS
  2. ^ S. F. Edwards, D. R. Wilkinson, The surface statistics of a granular aggregate, Proceedings of the Royal Society Series A 381, 17–31(1982). RSPA
  3. ^ David A. Huse, Christopher L. Henley, and Daniel S. Fisher, Physical Review Letters, Vol. 55, 2924 (1985). APS
  4. ^ Mehran Kardar and Yi-Cheng Zhang, Scaling of Directed Polymers in Random Media , Physical Review Letters, Vol. 58, 2087-2090, (1987). APS