オメガ定数

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オメガ定数(オメガていすう、omega constant) とは、

で定義される数学定数であり、およそ

である。

また、

とも定義できる(ただし、W: ランベルトのW関数)。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

が、

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω0 から初めて、Ω が漸化式

を用いて反復計算できることがわかる。この数列

収束する。

無理性[編集]

Ω が無理数であることは、e超越数であるということから背理法で証明できる。

Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

これをオメガ定数の定義式に代入すれば、


これは、ep 次の代数的数であることを示している。ところが、e は超越数であるから、背理法により Ω は無理数でなければならない。

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参考文献[編集]