オメガ定数

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オメガ定数(オメガていすう、omega constant) とは、

\Omega \exp \Omega =1 \,

で定義される数学定数であり、およそ

 \Omega \approx 0.5671432904097838729999686622

である。

また、

\Omega = W(1) \,

とも定義できる(ただし、W: ランベルトのW関数)。「オメガ定数」という名前は、ランベルトのW関数の別称、「オメガ関数」によるものである。

オメガ定数は、黄金比に似た性質を持っている。これは

 e^{-\Omega}=\Omega \,

が、

 \ln (1/\Omega) = \Omega \,

と同値であるということである。このことから、初期値 Ω0 から初めて、Ω が漸化式

 \Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}

を用いて反復計算できることがわかる。この数列

\lim_{n \to \infty} \Omega_n = \Omega

収束する。

無理数性[編集]

Ω が無理数であることは、e超越数であるということから背理法で証明できる。

Ω を有理数と仮定すれば、次式を満たす整数 p, q が存在する。

 \frac{p}{q} = \Omega

これをオメガ定数の定義式に代入すれば、

 1 = \frac p q e^\frac p q
 e^p = \left( \frac q p \right) ^ q

これは、ep 次の代数的数であることを示している。ところが、e は超越数であるから、背理法により Ω は無理数でなければならない。

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