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ウォリス積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。

定義と証明

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定義

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ウォリス積分 m は 0 以上の整数)は

で定義される。部分積分によって

すなわち漸化式

が得られる。これより m の偶奇に応じて の値が求まる。

ただし二重階乗である。

ウォリス積分におけるウォリスの公式

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m = 2n を代入すると先述の の求値より

スターリングの公式との関係

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スターリングの公式:

はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し とおくと、

より

が得られる。

応用

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ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。

またカタラン数 にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる:

関連項目

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