ウォリス積分

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数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。

定義と証明[編集]

定義[編集]

ウォリス積分 m は 0 以上の整数)は

で定義される。部分積分を2回行うと

すなわち漸化式

が得られる。これより m の偶奇に応じて の値が求まる。

ウォリス積分におけるウォリスの公式[編集]

m = 2n を代入すると先述の の求値より

スターリングの公式との関係[編集]

スターリングの公式:

はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し とおくと、

より

が得られる。

応用[編集]

ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。

またカタラン数 にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる:

関連項目[編集]