ウォリス積分
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数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。
定義と証明
[編集]定義
[編集]ウォリス積分 (m は 0 以上の整数)は
で定義される。部分積分によって
すなわち漸化式
が得られる。これより m の偶奇に応じて の値が求まる。
ただしは二重階乗である。
ウォリス積分におけるウォリスの公式
[編集]m = 2n を代入すると先述の の求値より
スターリングの公式との関係
[編集]→「スターリングの近似」も参照
スターリングの公式:
はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し とおくと、
より
が得られる。
応用
[編集]ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。
導出については「ガウス積分#ウォリスの公式を用いて」を参照
またカタラン数 にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる: