命数法

この画像は、同一の数値が異なる記数体系によってどのように表記されるかを比較したものである。掲載されている記数法は、点字数字、アラビア数字、デーヴァナーガリー数字、インド数字、漢数字、大字（簡体字）、およびローマ数字である。それぞれの体系は、文化的背景や用途に応じて異なる記号体系を持ち、数の視覚的・構造的な表現方法に多様性をもたらしている。

命数法（めいすうほう）とは、整数を数詞によって表す方法、すなわち数の唱え方をいう。数字その他の記号を用いて数を表す記数法とは区別される。

概説

命数法は、数を言語的に表現する体系である。たとえば、12 という数を日本語で「じゅうに」、英語で twelve、フランス語で douze と言う場合、これらはいずれも命数法による表現である。これに対し、「12」「十二」「XII」のような表記は数字による表現であり、記数法の問題に属する。

数を表す手段としては、数詞による命数法と、数字による記数法とが対応関係を持つ。Encyclopaedia Britannica は、numerals を数を表す記号、numeral systems をそれらの記号と大きな数を表す規則の体系と説明しており、命数法はこれに対して数詞による表現法にあたる。

数詞・記数法との関係

命数法は数詞を用いる体系であり、記数法は数字を用いる体系である。たとえば、日本語の「じゅうに」は命数法による表現であり、「12」はアラビア数字による記数法上の表現である。同じ数を表していても、前者は言語体系、後者は表記体系に属する。

コトバンク掲載の「数字と記数法」でも、数字は数を記録・保存・伝達するための記号であり、記数法は数を数字で表す表し方とされている。これに対し、命数法は数を数詞で表す表現法として位置づけられる。

構成原理

一般に、すべての整数に個別の数詞を与えることは現実的でないため、命数法では、少数の基本的な数詞と、それらを組み合わせる規則によって他の数を表す。コトバンクでも、一般には個々の整数すべてに別個の数詞を与えることは不可能であり、特定の数詞の組合せで他の数を表すとしている。

このため、命数法は通常、少数の基本語と、それらを結合する一定の規則から成る。十進命数法では、一から十までの数詞を基礎とし、十一、十二、二十、二十一のように構成していく。

類型

十進法を基礎とする命数法

今日もっとも広く見られる命数法は、十進法を基礎とするものである。コトバンクによれば、十進命数法では、まず一から十までの数について数詞が定められ、十を超える数は「十一」「十二」などのように構成される。さらに、十が十個で「百」、百が十個で「千」、千が十個で「万」というように、新たな位の数詞が用いられる。

二十進法的特徴を持つ命数法

命数法の基礎が十進法であっても、部分的に二十進法的な構成を残す言語がある。Britannica は、英語では base 20 の痕跡が主として score に見られ、フランス語では quatre-vingts （80、「4×20」）に残っていると説明している。また、同じくデンマーク語やウェールズ語にも二十進法的な痕跡が見られる。

大数命名の類型

大数の命名では、西欧系言語を中心に、10⁹ 以降の名称が異なる long scale と short scale の区別が知られている。short scale では 10⁹ が billion、10¹² が trillion であるのに対し、long scale では 10⁹ に milliard 相当語を用い、billion 相当語は 10¹² を指す。英国議会図書館は、現在の英国の公式統計では billion は 10⁹ を意味すると説明している。

諸言語における命数法

日本語

日本語の命数法は十進命数法を基礎とし、「一、二、三、四、五、六、七、八、九、十」を基本に、「百」「千」「万」「億」などの数詞を組み合わせて整数を表す。コトバンクも、十進命数法では一から十、および百・千・万・億などの数詞を用いて表すとしている。

また、日本では千の次を万とし、その後に億、兆、京などを置く四桁進法的な区切りが用いられる。コトバンク掲載のブリタニカ国際大百科事典 小項目事典では、命数法を「4けたごとの数団に分け、簡単な単位にする方法」と説明し、万（10⁴）、億（10⁸）、兆（10¹²）、京（10¹⁶）、垓（10²⁰）などを挙げている。

日本語の数詞体系では、助数詞との結びつきも強い。コトバンクの「数詞」では、「一枚・二枚」「一本・二本」のように数詞が助数詞を伴うことが示されている。

英語

現代英語圏では通常 short scale が用いられる。英国では歴史的に long scale も用いられたが、英国議会図書館は、現在の公式統計では billion は 1 thousand million（10⁹）を指すと説明している。

一方、英語の数詞体系には、十進法を基礎としつつも、古い二十進法的残存として score が見られる。Britannica は、英語における base 20 の痕跡は主として score に残るとしている。

ロマンス諸語

ロマンス諸語の命数法は、基本的には十進法を基礎としているが、数詞の構成要素の順序、接続要素の有無、総合的か分析的かといった形式差を持つ。ケンブリッジ版『The Cambridge Handbook of Romance Linguistics』の “Counting Systems” 章は、標準ロマンス諸語および方言間で、十進法を基礎としつつも、二十進法的形成やその他の逸脱的構成が見られると説明している。

フランス語

現代フランス語では long scale が標準であり、Académie française は milliard を 10⁹、billion を 10¹² としている。したがって、英語の billion とフランス語の billion は通常は同じ値を指さない。

また、フランス語の数詞体系には、二十進法的残存として quatre-vingts （80、「4×20」）がある。Britannica はこれを base 20 の代表例として挙げている。

ドイツ語

ドイツ語も long scale を採用しており、Duden は Milliarde を「tausend Millionen（1000 million）」、Billion を「eine Million Millionen（10¹²）」と定義している。

イタリア語

イタリア語でも long scale が標準であり、Treccani は bilione を「un milione di milioni（10¹²）」と説明している。

スペイン語

スペイン語でも原則として long scale が用いられる。王立スペインアカデミーは billón を「un millón de millones（10¹²）」とし、英語の billion の影響による 10⁹ の意味での使用は推奨していない。10⁹ には mil millones や millardo を用いるのが望ましいとされる。

ポルトガル語

ポルトガル語圏では差があり、ポルトガルでは bilião を 10¹² とする long scale 的説明が見られる一方、ブラジルでは bilhão = 10⁹ の short scale が一般的であるとされる。したがって、同一言語内でも地域差が存在する。

デンマーク語

デンマーク語の命数法は、全体としては十進法に立つが、50・60・70・80・90 の数詞に二十進法的残存が見られる。Britannica は、デンマーク語にもフランス語やウェールズ語と同様に base 20 の痕跡があると説明している。

特に、50 を表す halvtreds は、Britannica の関連説明では「2.5×20」に由来する例として挙げられている。また、デンマーク語辞書では古形 halvtredsindstyve が 50 を表す語として記録されている。

大数の命数法

大きな数の呼称は、命数法の重要な一部である。レファレンス協同データベースでは、『図解単位の歴史辞典』の「命数法」項および「大数と小数」の表に、大数の命数法や位取りがまとめられていることが紹介されている。

言語によって、大数の位名の切り方や命名規則は異なる。日本語のように四桁ごとに区切る体系もあれば、西欧系言語のように 10⁹ 以降の名称に long scale / short scale の差が現れる体系もある。

主な大数の位名（日本語の例）

日本語の主な大数の位名

数値	位名	備考
101	十	基本的な十進命数法の位名
102	百	同上
103	千	同上
104	万	日本語ではここで新たな位名を置く
108	億	四桁進法による次の大きな位
1012	兆
1016	京
1020	垓	コトバンク掲載ブリタニカ小項目事典で例示
1024	𥝱
1028	穣
1032	溝
1036	澗
1040	正
1044	載
1048	極
1052	恒河沙
1056	阿僧祇
1060	那由他
1064	不可思議
1068	無量大数

仏典の数詞

八十華厳における命数

名称	読み	n	数 $10^{7\times 2^{n}}$
倶胝	くてい	0	107
阿庾多	あゆた	1	1014
那由他	なゆた	2	1028
頻波羅	びんばら	3	1056
矜羯羅	こんがら	4	10112
阿伽羅	あから	5	10224
最勝	さいしょう	6	10448
摩婆羅	まばら	7	10896
阿婆羅	あばら	8	101792
多婆羅	たばら	9	103584
界分	かいぶん	10	107168
普摩	ふま	11	1014336
禰摩	ねま	12	1028672
阿婆鈐	あばけん	13	1057344
弥伽婆	みかば	14	10114688
毘攞伽	びらか	15	10229376
毘伽婆	びかば	16	10458752
僧羯邏摩	そうがらま	17	10917504
毘薩羅	びさら	18	101835008
毘贍婆	びせんば	19	103670016
毘盛伽	びじょうが	20	107340032
毘素陀	びすだ	21	1014680064
毘婆訶	びばか	22	1029360128
毘薄底	びばてい	23	1058720256
毘佉擔	びきゃたん	24	10117440512
称量	しょうりょう	25	10234881024
一持	いちじ	26	10469762048
異路	いろ	27	10939524096
顛倒	てんどう	28	101879048192
三末耶	さんまや	29	103758096384
毘覩羅	びとら	30	107516192768
奚婆羅	けいばら	31	1015032385536
伺察	しさつ	32	1030064771072
周広	しゅうこう	33	1060129542144
高出	こうしゅつ	34	10120259084288
最妙	さいみょう	35	10240518168576
泥羅婆	ないらば	36	10481036337152
訶理婆	かりば	37	10962072674304
一動	いちどう	38	101924145348608
訶理蒲	かりぼ	39	103848290697216
訶理三	かりさん	40	107696581394432
奚魯伽	けいろか	41	1015393162788864
達攞歩陀	たつらほだ	42	1030786325577728
訶魯那	かろな	43	1061572651155456
摩魯陀	まろだ	44	10123145302310912
懺慕陀	ざんぼだ	45	10246290604621824
瑿攞陀	えいらだ	46	10492581209243648
摩魯摩	まろま	47	10985162418487296
調伏	ちょうぶく	48	101970324836974592
離憍慢	りきょうまん	49	103940649673949184
不動	ふどう	50	107881299347898368
極量	ごくりょう	51	1015762598695796736
阿麼怛羅	あまたら	52	1031525197391593472
勃麼怛羅	ぼまたら	53	1063050394783186944
伽麼怛羅	がまたら	54	10126100789566373888
那麼怛羅	なまたら	55	10252201579132747776
奚麼怛羅	けいまたら	56	10504403158265495552
鞞麼怛羅	べいまたら	57	101008806316530991104
鉢羅麼怛羅	はらまたら	58	102017612633061982208
尸婆麼怛羅	しばまたら	59	104035225266123964416
翳羅	えいら	60	108070450532247928832
薜羅	べいら	61	1016140901064495857664
諦羅	たいら	62	1032281802128991715328
偈羅	げら	63	1064563604257983430656
窣歩羅	そほら	64	10129127208515966861312
泥羅	ないら	65	10258254417031933722624
計羅	けいら	66	10516508834063867445248
細羅	さいら	67	101033017668127734890496
睥羅	へいら	68	102066035336255469780992
謎羅	めいら	69	104132070672510939561984
娑攞荼	しゃらだ	70	108264141345021879123968
謎魯陀	めいろだ	71	1016528282690043758247936
契魯陀	けいろだ	72	1033056565380087516495872
摩覩羅	まとら	73	1066113130760175032991744
娑母羅	しゃもら	74	10132226261520350065983488
阿野娑	あやしゃ	75	10264452523040700131966976
伽麼羅	かまら	76	10528905046081400263933952
摩伽婆	まかば	77	101057810092162800527867904
阿怛羅	あたら	78	102115620184325601055735808
醯魯耶	けいろや	79	104231240368651202111471616
薜魯婆	べいろば	80	108462480737302404222943232
羯羅波	からは	81	1016924961474604808445886464
訶婆婆	かばば	82	1033849922949209616891772928
毘婆羅	びばら	83	1067699845898419233783545856
那婆羅	なばら	84	10135399691796838467567091712
摩攞羅	まらら	85	10270799383593676935134183424
娑婆羅	しゃばら	86	10541598767187353870268366848
迷攞普	めいらふ	87	101083197534374707740536733696
者麼羅	しゃまら	88	102166395068749415481073467392
馱麼羅	だまら	89	104332790137498830962146934784
鉢攞麼陀	はらまだ	90	108665580274997661924293869568
毘伽摩	びかま	91	1017331160549995323848587739136
烏波跋多	うはばた	92	1034662321099990647697175478272
演説	えんぜつ	93	1069324642199981295394350956544
無尽	むじん	94	10138649284399962590788701913088
出生	しゅっしょう	95	10277298568799925181577403826176
無我	むが	96	10554597137599850363154807652352
阿畔多	あばんた	97	101109194275199700726309615304704
青蓮華	しょうれんげ	98	102218388550399401452619230609408
鉢頭摩	はどま	99	104436777100798802905238461218816
僧祇	そうぎ	100	108873554201597605810476922437632
趣	しゅ	101	1017747108403195211620953844875264
至	し	102	1035494216806390423241907689750528
阿僧祇	あそうぎ	103	1070988433612780846483815379501056
阿僧祇転	あそうぎてん	104	10141976867225561692967630759002112
無量	むりょう	105	10283953734451123385935261518004224
無量転	むりょうてん	106	10567907468902246771870523036008448
無辺	むへん	107	101135814937804493543741046072016896
無辺転	むへんてん	108	102271629875608987087482092144033792
無等	むとう	109	104543259751217974174964184288067584
無等転	むとうてん	110	109086519502435948349928368576135168
不可数	ふかすう	111	1018173039004871896699856737152270336
不可数転	ふかすうてん	112	1036346078009743793399713474304540672
不可称	ふかしょう	113	1072692156019487586799426948609081344
不可称転	ふかしょうてん	114	10145384312038975173598853897218162688
不可思	ふかし	115	10290768624077950347197707794436325376
不可思転	ふかしてん	116	10581537248155900694395415588872650752
不可量	ふかりょう	117	101163074496311801388790831177745301504
不可量転	ふかりょうてん	118	102326148992623602777581662355490603008
不可説	ふかせつ	119	104652297985247205555163324710981206016
不可説転	ふかせつてん	120	109304595970494411110326649421962412032
不可説不可説	ふかせつふかせつ	121	1018609191940988822220653298843924824064
不可説不可説転	ふかせつふかせつてん	122	1037218383881977644441306597687849648128

八十華厳

唐の実叉難陀訳の『華厳経（八十華厳）』（新訳華厳経、唐経、大正蔵279）の第45巻「阿僧祇品第三十」には、上の表に示した命数が記述されている。

10⁵ を洛叉、100洛叉（10⁷）を倶胝（くてい）とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。

最大の命数である不可説不可説転は

$10^{7\times 2^{122}}=10^{37218383881977644441306597687849648128}$

という巨大な数となる。

小数の命数法

命数法は整数だけでなく、小数の呼称にも及ぶ。

レファレンス協同データベースでは、『日常の数学事典』の「命数法―大きい数と小さい数の呼び方―」や『図解単位の歴史辞典』の「命数法」項に、小数の命数法が掲載されていることが紹介されている。

同データベースによれば、日本語の小数の命数法として「分」から「浄」までの数詞が記載された資料があり、『塵劫記』では「虚」は 10^-20、「空」は 10^-21、「清」は 10^-22、「浄」は 10^-23 に対応する。一方、『算法統宗』ではこれと異なる対応が見られ、小数の命数法には資料差が存在する。このため、小数の命数法を記述する際には、史料や版による差異に留意する必要がある。

レファレンス協同データベースでも、『塵劫記』と『算法統宗』で値が異なることや、「小数の日本語表記には諸説ある」とする資料が紹介されている。

小数の命数法（代表的対応）

小数の命数法（代表的対応）

数値	数詞	出典系統	備考
10-1	分	複数資料で共通	小数命名の起点
10-2	厘	複数資料で共通
10-3	毛	複数資料で共通
10-4	糸	複数資料で共通
10-5	忽	複数資料で共通
10-6	微	複数資料で共通
10-7	繊	複数資料で共通
10-8	沙	複数資料で共通
10-9	塵	複数資料で共通
10-10	埃	複数資料で共通
10-11	渺
10-12	漠
10-13	模糊
10-14	逡巡
10-15	須臾
10-16	瞬息
10-17	弾指
10-18	刹那
10-19	六徳
10-20	虚空	『新数学事典』『日常の数学事典』など	二字をまとめる資料例
10-21	清浄	『新数学事典』『日常の数学事典』など	二字をまとめる資料例

小数の命数法（資料差のある対応）

小数の命数法（資料差のある対応）

数値	『塵劫記』系の例	『算法統宗』系の例	備考
10-20	虚	虚	『算法統宗』系では指数対応が大きく異なる
10-21	空		『算法統宗』系では空欄・異説あり
10-22	清		同上
10-23	浄		同上

また、レファレンス協同データベースでは、『図解よくわかる単位の事典』『数える・はかる・単位の事典』などに、「清浄」に続いて「阿頼耶」「阿摩羅」「涅槃寂静」を載せる例が紹介されている。ただし同データベースは、これらについて『塵劫記』『算法統宗』『算学啓蒙』の原典資料では確認できなかったとしている。之はWikipedia記事「涅槃寂静」からの引用と思われるが、デジタル化されたJPSearchの史料には記載が無い。

参考：一部資料に見られる清浄以後の小数名

参考：一部資料に見られる清浄以後の小数名

数値	数詞	掲載が確認された資料	注意
10-22	阿頼耶	『図解よくわかる単位の事典』『数える・はかる・単位の事典』	原典確認は未了とされる
10-23	阿摩羅	『図解よくわかる単位の事典』『数える・はかる・単位の事典』	同上
10-24	涅槃寂静	『図解よくわかる単位の事典』『数える・はかる・単位の事典』	同上

歴史

命数法の歴史は、数を音声言語によって表現する必要とともに発達した。Britannica も、数字による図形表現より前に、人間はまず数を数え、音声で小さい集団の個数を区別していたであろうと述べている。

日本語においては、十進命数法を基礎とする数詞体系が整えられ、大数・小数の名称も算書や辞典類を通じて整理されてきた。レファレンス協同データベースでは、『塵劫記』以後、日本での数の呼び方は四桁進法に統一され、整然としたものになったとする『日常の数学事典』の説明が紹介されている。

他の表現体系との関係

命数法は、言語における数の表現法であり、記数法と対応しつつも一致するとは限らない。数字体系が位取りや記号の規則を中心とするのに対し、命数法は数詞の構成順序や位名の置き方によって特徴づけられる。

したがって、命数法は「数を語としてどう表すか」という問題を扱う体系であり、数字による表記法とは別個に考える必要がある。

関連項目

• 数
• 数詞
• 数字
• 記数法
• 助数詞
• 基数
• 序数