イプシロン-デルタ論法

ε-δ 論法（イプシロンデルタろんぽう、(ε, δ)-definition of limit）は、解析学において、（有限な）実数値のみを用いて極限を定義する方法である。

歴史的背景

ニュートンとライプニッツが創設した微分積分学は、無限小（どんな正の実数よりも小さな正の数）や無限大（どんな実数よりも大きな数）といった実数の範囲では定義できない概念を用いている。このような状況はオイラーによって微分積分学が大幅な発展を遂げる18世紀まで継続された。当時の数学者達は級数の発散や収束に関する定義に無頓着なまま理論を発展させていったため、しばしば誤った結論が導かれてしまうことがあった。

19世紀に入るとコーシーやベルナルト・ボルツァーノらによって、厳密な定義に基づいて微分積分学を再構築しようとする試みがなされるようになる。この時期から収束や連続に関する定義は厳密化されていく。ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続が定義されるようになった。数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ 論法を用いて関数の連続性の定義を行った。しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。

なお、ε-δ 論法の登場により一度は数学から追放された無限小や無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化され、超準解析（Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる）という分野で研究されている。

数学教育における取り扱い

微積分学の定理の内、特に関数の極限に関する定理は、このε-δ 論法による定義に基づき証明される。言葉を換えれば、ε-δ 論法を用いない微分積分学は厳密な定義に基づかないため、数学界では高校数学の段階でε-δ 論法による定義を教えるべきである、という意見もある。一方で、数学以外の、自然科学・工学・経済学・医学・社会学等においては、ε-δ 論法による定義に基づく教育を不要と見なす意見もあり、ε-δ 論法による定義を教える事の必要性は、数学教育における古くて新しい論争である。

関数値の収束

実関数 f: R → Rに対して、極限の式

$\lim _{x\to a}f(x)=b$

を ε-δ 論法で定義すると

$\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta >0\ \mathrm {s.t.} \ \forall \ x\in \mathbb {R} \ [0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ]$

となる。これは

任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x − a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) − b| < ε が成り立つ。

という意味の式である。極限の式は、この ε-δ 論法によって定義される。

この式が成り立っているとすると0< |x − a| < δ の範囲で実数 x を動かしているうちは、どのように動かしても f(x) と b との差は高々 ε 程度でしかない。 x を a に近付ける操作を行っている場合でも同様である。 ε は任意に選べば、それに応じて δ が必ず存在し x が0< |x − a| < δ を満たす限り、 f(x) は b からせいぜい ε しか離れてない範囲に留まり続ける。

ε は無限小とは異なり有限の値であるが、いかに小さな値であっても δ が必ず存在するという条件が極限の概念を明確に定義している。世界中の人が選んだ ε の中で最も小さい数を ε₁ としたとき、ε₁ に対応する δ₁ を選べば 0 < |x − a| < δ₁ ⇒ |f(x) − b| < ε₁ を成り立たせることができるが、ε₁ よりもさらに小さい ε₂ = ε₁/10 という数を考えても同様に対応する δ₂ が存在し 0 < |x − a| < δ₂ ⇒ |f(x) − b| < ε₂ を成り立たせるようにできる。 ここで、ε₁より小さいε₂のみ考慮するのは、ε₁ < ε₂ を満たす場合、 ε₂ に対して δ₁ によって

$0<|x-a|<\delta _{1}\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}$

より、δ₁ が ε₂ に対する δ としても使えるからである。つまりある ε で δ を与えられるなら、より大きい ε に対しても δ を与えられる。逆に ある ε で δ が存在しない場合、任意の ε に対して、適当な δ が存在するという条件を満たさないため、他の ε に対してどうであろうと、極限の存在を示すことはできない。

上記の論理式だけで、限りなく近付くという極限の概念を有限の値をとる変数だけで定義できる。

正の数 ε を任意に選んだとき、条件を満たす正の数 δ が存在するので、 δ は ε によって制約を受けている変数である。一般に δ は 1 つとは限らず無数にあるが 1 つでも見つければ、存在を示したことになる。例えば

$\lim _{x\to 2}x^{2}=4$

を ε-δ 論法で考えると、 任意の ε に対して δ = √ε +4 −2 と選べば

$0<|x-2|<\delta ={\sqrt {\varepsilon +4}}-2$

ならば

$|x^{2}-4|=|x+2||x-2|<(\delta +4)\delta =({\sqrt {\varepsilon +4}}+2)({\sqrt {\varepsilon +4}}-2)=\varepsilon$

なので

$\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta >0\ \mathrm {s.t.} \ x\in \mathbb {R} \ [0<|x-2|<\delta \Rightarrow |x^{2}-4|<\varepsilon ]$

が成り立ち、 x → 2 のとき x² → 4 となることが ε-δ 論法によって示されたことになる。

数列の収束

実数列 a₁, a₂, … , a_n, … が極限の式

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=b$

を満たすとは n を大きくしていけば b に限りなく近づいていくという意味である。

これを 論理式で定義すると

$\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ N\in \mathbb {N} \ \mathrm {s.t.} \ \forall \ n\in \mathbb {N} \ [n>N\Rightarrow |a_{n}-b|<\varepsilon ]$

となる。

任意の正の数 ε に対し、ある適当な自然数 N が存在し、N より大きい全ての自然数nに対して|a_n − b| < ε

が成り立つ。 という意味である。

つまり N をうまく選べば、添字 n が N より大きな a_n は、 b から高々 ε 程度しか離れられないようにできる。 ε は自由に選ぶことができるので好きなだけ小さい正の実数を取ればよい。これによって a_n が b に近付く状況を表現できる。

数列の極限に関する定義は δ ではなく N を使うため ε-δ 論法ではなく ε-N 論法と呼ばれる。

ε-δ 論法では ε が小さくなるにつれて δ も小さくなっていくが、 ε-N 論法では ε が小さくなれば N を大きくしていかなければならない。

例えば a_n = (n+1)/n のとき N > 1/ε となるように N を取れば n > N という条件のもとで

$\left|{n+1 \over n}-1\right|=\left|{1 \over n}\right|<{1 \over N}<\varepsilon$

となるので

$\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ N\in \mathbb {N} \ \mathrm {s.t.} \ \forall \ n\in \mathbb {N} \ [n>N\Rightarrow |a_{n}-1|<\varepsilon ]$

が成り立ち、数列 a_n は 1 に収束することが ε-N 論法による定義に基づき示される。

関数の連続性

実関数 f: R → R が

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。 これを ε-δ 論法で定義すると

$\forall \ \varepsilon >0,\ \forall \ a\in I,\ \exists \ \delta >0\ \mathrm {s.t.} \ \forall x\in I\ [|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon ]$

となる。

s.t.句の最初に現れる ∀x ∈ I という条件によって I が閉区間 [p, q] の時もその端点での f(x) の片側連続性

$\lim _{x\to p+0}f(x)=f(p)$

$\lim _{x\to q-0}f(x)=f(q)$

が定義される。半開区間 [p,q) や (p, q] などのときも同様である。

このように連続性を ε-δ 論法で定義した場合 δ は ε と a の両方の選び方に影響を受ける可能性がある。

連続性の定義の条件の順序を変えて

$\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta >0\ \mathrm {s.t.} \ \forall \ a\in I,\ \forall \ x\in I\ [|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\varepsilon ]$

とした場合、 δ は ε の選び方だけから制限をうけ、 a の取り方によらない数である。この時 f(x) は I 上で一様連続であるという。

例えば、 I = (0,1] とし、その上で定義された関数 f(x) = ¹⁄_x は、連続であるが一様連続ではない。なぜなら、どんな δ を選んでも、 $a=\min(\delta ,1)$, x = ^a⁄_(1+a) のとき

$\left|x-a\right|=\left|{a \over {1+a}}-a\right|=\left|-{a^{2} \over {1+a}}\right|={a^{2} \over {1+a}}<a=\min(\delta ,1)\leq \delta$

かつ

$\left|{1 \over x}-{1 \over a}\right|=\left|{{1+a} \over a}-{1 \over a}\right|=1$

であるから、ε ≤ 1 となる ε に対して条件を満たすような δ は存在しない。

この 1 というのは本質的ではなく、この場合は、どんな ε に対しても条件を満たすような δ が存在しないことがわかる。

このように有界な区間上で定義された連続な関数で無限大に発散しているようなものなどが、連続でも一様連続ではない例としてよく用いられる。

関数列の収束

区間 I 上で定義された実関数の列 f₀(x), f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), … に対してI 上で定義される実関数 f(x) が存在し、各 x ∈ I に対して極限の式

$\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$

が成り立つとき、関数列 {f_n(x)} は f(x) に各点収束（かくてんしゅうそく）するという。

上記を ε-N 論法で定義すれば

$\forall \ \varepsilon >0,\ \forall \ x\in I,\ \exists \ N\in \mathrm {N} \ \mathrm {s.t.} \ \forall \ n\in \mathrm {N} \ [n>N\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ]$

となる。 N は ε と x の選び方によって制限を受ける。 x = c などの特定の値で関数列を見たときに f₀(c), f₁(c), f₂(c), …, f_n(c), … が数列として f(c) に収束するという意味である。

条件の順序を変えた

$\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ N\in \mathrm {N} \ \mathrm {s.t.} \ \forall \ x\in I,\ \forall \ n\in \mathrm {N} \ [n>N\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ]$

が成立するとき、 関数列 {f_n(x)} は f(x) に一様収束（いちようしゅうそく）するという。

この条件は各点収束と違い、N は x と無関係に ε のみに依る、言い換えると区間 I 内の全ての x に共通の N が取れる、という意味である。

例えば I = (0,1) 上で定義される f_n(x) = xⁿ は f(x) = 0 という定数関数に各点収束するが、一様収束はしない。ε を 1 より小に取れば、どのように N を大きく取っても、例えば n = N+1 と ε^1/(N+1) < x < 1 に対して |f_n(x) − f(x)| = xⁿ = x^N+1 > ε となってしまうためである。

I の両端点まで含めた区間[0,1] （ I の閉包）上で考えると f_n(x) = xⁿ は 0 ≤ x < 1 では f(x) = 0 に各点収束し、x = 1 では常に f_n(1) = 1 で f(x) = 0 とは連続ではない。こういった事情が、各点収束なのに一様収束ではないという性質と繋がっている。

参考文献

• John R. Taylor『計測における誤差解析入門』林 茂雄, 馬場 凉 (訳)、東京化学同人、2000年。ISBN 480790521X。
• 吉永 悦男『初等解析学―実数+イプシロン・デルタ+積分』、1994年。ISBN 4563002305。

より深く知りたい人のための参考書の例

• 中根美知代：「ε-δ論法とその形成」、共立出版、ISBN 978-4320019331（2010年）。
• 原惟行、松永秀章：「イプシロン・デルタ論法 完全攻略」、共立出版、ISBN 978-4320110120（2011年）。
• 田中降幸：「ε－δ論法と論理学」、東京図書出版、ISBN 978-4866411217（2018年）。
• 宮島静雄：『微分積分学Ⅰ』、共立出版、2003年。

関連項目

• 連続 (数学)
• 極限
• はさみうちの原理