アイゼンシュタインの既約判定法

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アイゼンシュタインの既約判定法(アイゼンシュタインのきやくはんていほう、: Eisenstein's criterion)は係数の多項式有理数体上で既約であるための十分条件を与える定理である。ゴットホルト・アイゼンシュタインが1850年に発表した論文が由来[1]。20世紀初頭では、シェーネマン=アイゼンシュタインの既約判定法とも呼ばれていた。これは、1846年にテオドル・シェーネマン英語版がこの定理を最初に発表した[2]ことに由来する.[3][4]

定理[編集]

を整数係数の多項式とする。ある素数 p が存在して、整数 a0, a1, …, an

  • in の場合は aip で割り切れる
  • anp で割り切れない
  • a0p2 で割り切れない

を満たすならば、 は有理数体上で既約である。


上の定理の係数環は一意分解環にまで一般化出来る。即ち以下が成り立つ。証明は全く同様である。

を一意分解環、をその商体とする。

係数の多項式とする。あるの素元p が存在して、 a0, a1, …, an

  • in の場合は aip で割り切れる
  • anp で割り切れない
  • a0p2 で割り切れない

を満たすならば、 は体上で既約である。

さらに係数環を整域にまで拡張できる(詳細は英語版を参照のこと)。

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  • 複素係数多項式は既約である。実際係数の一変数多項式と見て素元としてと選べばよい。

脚注[編集]

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関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Cox, David A. (2011), “Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first”, American Mathematical Monthly 118 (1): 3–31, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003 .
  • Dorwart, H. L. (1935), “Irreducibility of polynomials”, American Mathematical Monthly 42 (6): 369–381, doi:10.2307/2301357, http://www.jstor.org/stable/2301357 .
  • Eisenstein, Gotthold (1850), “Über die Irredicibilität une einige andere Eigenschaften der Gleichung von welche der Theilung der ganzen Lemniscate abhängt”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1850 (39): 160–179, doi:10.1515/crll.1850.39.160 .
  • Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3 .
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Algebraic equation", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
  • Schönemann, Theodor (1846), “Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846 (32): 93–118, doi:10.1515/crll.1846.32.93 .
  • Schönemann, Theodor (1850), “Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irreductible Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1850 (40): 185–188, doi:10.1515/crll.1850.40.185 .

外部リンク[編集]