極座標系のソースを表示

'''極座標系'''（きょくざひょうけい、{{lang-en-short|polar coordinates system}}）とは、''n'' 次元[[ユークリッド空間]] '''R'''{{sup|''n''}} 上で定義され、1 個の'''動径''' ''r'' と ''n'' &minus; 1 個の'''偏角''' ''θ''{{sub|1}}, …, ''θ''{{sub|''n''&minus;1}} からなる[[座標|座標系]]のことである。点 S(0, 0, ''x''{{sub|3}}, …,''x{{sub|n}}'') を除く[[直交座標系|直交座標]]は、[[局所]]的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においては[[ヤコビアン]] が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。

== いろいろな極座標とその拡張 ==
=== 円座標 ===
2 次元ユークリッド空間 '''R'''{{sup|2}} における極座標は円座標（{{en|circular coordinates}}）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。''rθ'' 平面、極座標平面（または平面極座標<ref>[[小出昭一郎]] 『物理入門コース2 解析力学』 1-1〜1-3節、[[岩波書店]]、1983年</ref>）ともいう。特異点は (''r'', ''θ'') = (0, ''θ'') 即ち、''xy''座標での原点 (''x'', ''y'') = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、[[複素数]][[可換体|体]] '''C''' 上にも定義できる。この時、円座標を'''極形式'''と呼んだりもする。その場合、[[オイラーの公式]]を利用して ''z'' = ''re{{sup|iθ}}'' と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これは''xy''平面上で[[円 (数学)|円]]を描く。

円座標 {{math|(''r'',''&theta;'')}} から直交直線座標 {{math|(''x'',''y'')}} への変換は
{{Indent|
<math>\begin{cases}
 x =r\cos\theta \\
 y =r\sin\theta \\
\end{cases}</math>
}}
で与えられる。角度座標の範囲を {{math|&minus;&pi; < ''&theta;'' &le; &pi;}} とする場合の直交直線座標から円座標への変換は
{{Indent|
<math>\begin{cases}
 r =\sqrt{x^2 +y^2} \\
 \theta =\sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\
\end{cases}</math>
}}
で与えられる。ここで {{math|sgn}} は[[符号関数]]である。原点 {{math|1=(''x'',''y'') = (0,0)}} において特異性があり、分母がゼロとなるため {{mvar|&theta;}} が定まらない。

=== 円柱座標 ===
円座標で (0, 0) を除く ''xy'' 平面上の全ての点を表現できるから、これに ''z'' 軸を加えれば、''xyz'' 空間が表現できる。これを[[円柱座標]]（{{en|cylindrical coordinates}}）と言う。円柱座標空間上（''rθz'' 空間上ともいう）で、''θ'', ''z'' を限定しなければ、これは ''xyz'' 空間上で[[円柱 (数学)|円柱]]を描く。
また、円柱座標空間上の特異点は ''z'' 軸上の全ての点である。

円筒座標 {{math|(''r'',''&theta;'',''z'')}} から直交直線座標 {{math|(''x'',''y'',''z'')}} への変換は
{{Indent|
<math>\begin{cases}
 x =r\cos\theta \\
 y =r\sin\theta \\
 z =z \\
\end{cases} </math>
}}
で与えられ、直交直線座標から円筒座標への変換は
{{Indent|
<math>\begin{cases}
 r =\sqrt{x^2+y^2} \\
 \theta = \sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\
 z =z \\
\end{cases} </math>
}}
で与えられる。

=== 球座標 ===
[[Image:spherical with grid.svg|thumb|right|250px|球座標による3次元ユークリッド空間内の点の表示]]
3 次元ユークリッド空間 '''R'''{{sup|3}} における極座標。[[球面座標]]（Spherical coordinates）とも呼ばれる。1 個の動径 ''r'' と 2 個の偏角 ''θ'', ''φ'' によってなる（図を参照）。[[球面座標系|球座標]]において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、''xyz'' 空間上で[[球]]を描く。

球座標から直交直線座標への変換は
{{Indent|
<math>\begin{cases}
 x =r\sin\theta \cos\phi \\
 y =r\sin\theta \sin\phi \\
 z =r\cos\theta \\
\end{cases}</math>
}}
で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は
{{Indent|
<math>\begin{cases}
 r =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\
 \theta =\arccos(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \\
 \phi =\sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\
\end{cases}</math>
}}
で与えられる。{{mvar|z}}-軸上 {{math|1=(''x'',''y'') = (0,0)}} において特異性があり、分母がゼロとなるため {{mvar|&phi;}} が定まらない。原点においては {{mvar|&theta;}} も定まらない。

{{Main|球面座標系}}

== 積分への応用 ==
極座標平面での[[長方形]]は、直交座標に於ける[[円 (数学)|扇形]]の一部となる。特に ''θ'' の長さが 2''π'' であれば、直交座標においては[[円 (数学)|円]]の一部となる。''r'' を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、''r'' × ''θ'' = [0, ∞) × [0, 2''π'') に等しい。以上のことは広義[[二重積分]]に於いて有用である。なぜなら上記から、
:<math>\int^{\infin}_{-\infin} \int^{\infin}_{-\infin} f(x,y)dxdy=\int^{2\pi}_0 \int^{\infin}_0 f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta</math>
が導けるからである。この公式は、例えば次のように用いられる。
:<math>\int^{\infin}_{-\infin} \int^{\infin}_{-\infin} e^{-(x^2 +y^2 )} dxdy=\int^{2\pi}_0 \int^{\infin}_0 e^{-r^2} rdrd\theta</math>
左辺の積分は、このままの状態で解くのは非常に困難だが、右辺の形にすれば、変数変換 ''r''{{sup|2}} → ''r''' によって、
:<math>\int^{2\pi}_0 \int^{\infin}_0 e^{-r^2} rdrd\theta =\frac{1}{2} \int^{2\pi}_0 \int^{\infin}_0 e^{-r'} dr'd\theta</math>
とできるから、あとは通常の二重積分の方法に従って簡単に解け、答えは ''π'' となる。

== 出典 ==
<references />

== 関連項目 ==
*[[直交座標系]]
*[[斜交座標系]]

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