ルンゲ＝レンツベクトル

物理学において、ルンゲ＝レンツベクトル（英: Runge–Lenz vector）とは、ケプラー問題、すなわち逆二乗則に従う中心力の下の運動における保存量の一つ。古典力学の天体運行のケプラー問題や量子力学の水素原子モデルの問題などに現れる。空間的な回転対称性の下で保存量となる角運動量のように、他の多くの保存量が幾何学的な対称性から導かれるのとは異なり、ルンゲ＝レンツベクトルを導く対称性は力学的性質に由来し、力学的対称性と呼ばれる。水素原子の束縛状態においては、量子力学的な角運動量演算子とルンゲ＝レンツベクトル演算子の交換関係は4次特殊直交群SO(4)に対応するリー代数をなし、固有値問題の代数的な解法を与える。

ルンゲ＝レンツベクトルという名はドイツの物理学者カール・ルンゲとヴィルヘルム・レンツに因む。1924年の前期量子論の論文において、レンツはケプラー問題のエネルギースペクトルの摂動にルンゲ＝レンツベクトルを適用し、その引用文献として、ルンゲのベクトル解析の著作 "Vectoranalysis" を挙げた。なお、フランスの物理学者ピエール＝シモン・ラプラスはルンゲやレンツに先駆けて、1799年の天体力学の著作 "Traité de mécanique céleste" の中でルンゲ＝レンツベクトルの性質を論じており 、ラプラス＝ルンゲ＝レンツベクトルとも呼ばれる。 但し、その発見はさらに古く、少なくともウィリアム・ハミルトンに遡るとされる。

導入

ルンゲ＝レンツベクトルは距離に反比例する引力型の中心力ポテンシャルによるケプラー問題に現れる。重力ポテンシャルによって太陽の回りを運行する惑星やクーロンポテンシャルのよって原子核の回りを運動する水素型原子の電子の運動はそうした例である。ここで、古典力学でのケプラー問題を考え、ルンゲ＝レンツベクトルを導入する。惑星や電子の質量に対し、太陽や原子核の質量は十分大きく、その運動は無視できるとし、原点に固定されているものと仮定する。惑星や電子に対応する質点の位置座標を r、質量をm とし、原点を中心とした中心力ポテンシャルを

$V(r)=-{\frac {k}{r}}\quad (k>0)$

とする。正の定数 k は、重力ポテンシャルによって、惑星が太陽の周りを運動する天体運行モデルの場合、太陽の質量 M、惑星の質量 m、万有引力定数 G により、 k=GMm で与えられる。また、クーロンポテンシャルによって、Z 個の電子が原子核の周りを運動する水素原子型モデルの場合 、電子の電荷 e (<0) と真空の誘電率 ε₀ によって k=Ze²/4πε₀ で与えられる。このとき、質点の運動を記述する運動方程式は

${\dot {\boldsymbol {p}}}=-\nabla V(r)=-{\frac {k}{r^{2}}}{\frac {\boldsymbol {r}}{r}}$

となる。但し、ドット記号は時間微分を表し、p は運動量

${\boldsymbol {p}}=m{\dot {\boldsymbol {r}}}$

である。運動方程式の右辺は逆二乗則に従う中心力を表している。

この系では、力学的エネルギー

$E={\frac {m{\dot {\boldsymbol {r}}}^{2}}{2}}+V(r)$

と角運動量ベクトル

${\boldsymbol {L}}=\mathbf {r} \times {\boldsymbol {p}}$

は時間に対して不変な保存量となる。ここで、質点は角運動量ベクトルに垂直となる平面内を運動し、その軌道は原点を焦点とする二次曲線となる。特に E<0 の場合、軌道は楕円軌道となる。楕円軌道の長半径を a、軌道離心率を e とすると。

$E=-{\frac {k}{2a}}$

$L=mka(1-e^{2})\quad (L=|{\boldsymbol {L}}|)$

の関係が成り立つ。

このとき、

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {p}}\times {\boldsymbol {L}}-mk{\boldsymbol {r}}$

で定義されるベクトルをルンゲ＝レンツベクトルと呼ぶ。ルンゲ＝レンツベクトルは

${\dot {\boldsymbol {A}}}={\boldsymbol {0}}$

を満たす保存量である。

一般に中心力ポテンシャルの下での運動は回転対称性から角運動ベクトルは保存量となり、その軌道は角運動ベクトルに垂直な一定平面内に限られる。一方で必ずも軌道が閉じて、閉軌道となることは保証されない。距離に反比例する中心力ポテンシャル V(r) においても、わずかにその値が揺らぐと、近日点と遠日点を結ぶ軸に歳差が生じ、楕円軌道としては閉じない。軌道が閉じる背後には角運動ベクトルに加えて、別の保存量の存在が示唆されるが、ルンゲ＝レンツベクトルがその保存量となっている。

基本的な性質

楕円軌道の各点におけるルンゲ＝レンツベクトル A=p×L-mkr（赤色の矢印）。ルンゲ＝レンツベクトルは一定であり、その方向は原点から近日点を結ぶベクトル r_p と等しく、その大きさは mke である。参考に p×L（青色の矢印）と mkr（緑色の矢印）を同時に示している。

ルンゲ＝レンツベクトルは時間的に変化しない一定ベクトルであり、楕円軌道を含む一定平面内に位置する。その方向は原点である焦点と近日点（peliherion）を結ぶ方向にある。また、その大きさは

$A=mke$

で与えられる。従って、近日点の座標を r_p とすると、

${\boldsymbol {A}}=mke{\frac {{\boldsymbol {r}}_{p}}{r_{p}}}$

と表すことができる。

ある時刻 t における系の状態は、位置座標 r=(x, y, z) と運動量 p=(p_x, p_y, p_z) の6つの自由度を持つ相空間の点として記述され、その時間発展は6次元の相空間上の軌道を描く。一般に保存量が一つ存在すれば、相空間の軌道は制限され、自由度が一つ下がる。特に相空間の次元と同数の独立な保存量が存在すれば、相空間上の軌道は完全に決定される。ケプラー問題において、エネルギーと角運動量ベクトルの3成分、ルンゲ＝レンツベクトルの3成分は保存量であり、その総数は7個であり、相空間の次元6より多い。このことはルンゲ＝レンツベクトルと角運動量ベクトル、エネルギーとは独立ではないことを意味する。実際、ルンゲ＝レンツベクトルと角運動量ベクトルは直交しており、

${\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {0}}$

を満たす。また、ルンゲ＝レンツベクトル、角運動量、エネルギーは関係式

$A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}$

で結ばれている。

参考文献

• Goldstein, Herbert; Safko, John L.; Poole Jr., Charles P. (2002). Classical mechanics (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 0201657023 
• Greiner, Walter; Müller, Berndt (1994). Quantum Mechanics: Symmetries (2nd ed.). Springer. ISBN 0387580808 
• Schiff, Leonard I. (1968). Qauntum mechanics (3rd ed.). McGraw-Hill. ASIN B000OG2UB2 

関連項目

• ケプラー問題
• 対称性 (物理学)