離心率

離心率 e の異なる曲線

離心率（りしんりつ）とは、円錐曲線（二次曲線）の特徴を示す数値のひとつである。

定義

円錐曲線、すなわち円・楕円・放物線・双曲線はいずれも、焦点 F からの距離と、準線 d からの距離の比 e が一定となる点の集合である。この比 e が離心率である。すなわち、円錐曲線上の任意の点 M について、焦点 F からの距離を FM、準線 d からの距離を MM' と表すと

$e={\frac {FM}{MM'}}$

となる。円の場合は、楕円での準線を無限遠方においた極限とみなして離心率は0とする。

離心率と二次曲線の分類

• 離心率 = 0 … 真円
• 0 < 離心率 < 1 … 楕円
• 離心率 = 1 … 放物線
• 1 < 離心率 … 双曲線

楕円の離心率

楕円の場合、長径を 2a、短径を 2b とすると焦点同士の距離は$2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$となり

$e={\frac {2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{2a}}={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$

である。したがって、楕円形が真円に近いほど離心率は小さな値をとる。

扁平率 を$f\,$とすると、

$f={\frac {a-b}{a}}=1-{\frac {b}{a}}$

離心率の２乗$e^{2}$は、

$e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=f(2-f)$

である。

$e\,$は“第一離心率”と称される。また第二離心率$e^{\prime }\,$、第三離心率$e^{\prime \prime }\,$も用いられる。

$e'={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}},\quad e''={\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}}$

地球の離心率

地球（GRS80回転楕円体）の離心率は、その定義された扁平率から計算すると、$e\,$ = 0.081 819 191 042 815 790（近似値）、$e^{2}\,$ = 0.006 694 380 022 900 788（近似値）である。

関連項目

• 円錐曲線
• 扁平率
• 軌道離心率

参考文献

• König, R. and Weise, K. H. (1951): Mathematische Grundlagen der höheren Geodäsie und Kartographie, Band 1, Das Erdsphäroid und seine konformen Abbildungen, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg
• Ганьшин, В. Н. (1967): Геометрия земного эллипсоида, Издательство «Недра», Москва
• Puissant, L. (1842): Traité de Géodésie; ou, Exposition des Méthodes Trigonométriques et Astronomiques, applicables à la Mesure de la terre, et à la Construction du Canevas des Cartes Topographiques, 1, Bachelier, Imprimeur-Libraire, Paris, 295-304