絶対値

数学における絶対値（ぜったいち、英語: absolute value）は、数の「大きさ」の概念を与える規準の一つである。その数が 0 からどれだけ離れているかを知ることができる。

実数の絶対値

実数の絶対値または母数（ぼすう、英語: module, modulus; 尺度）は

|x|:={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}

なる条件、あるいはこれに同値な

|a|={\sqrt {a^{2}}}

などの条件で与えられる。前者の条件では実数から符号を取り除いたもの、後者の条件からは 0 からの距離を与えるものという解釈を得ることができる。

実数の絶対値に関して、

−b ≤ a ≤ b のとき、且つそのときに限って、|a| ≤ b

が成り立ち、絶対値に関する不等式を絶対値を用いない形に書き直すことができる。例えば、

|x - 3| ≤ 9 ⇔ −9 ≤ x − 3 ≤ 9 ⇔ −6 ≤ x ≤ 12

などとなる。一般には必ずしも単純に書き換えることはできず、いくつかの場合に分けて調べることになる。

性質

基本的な性質として、任意の実数 $a, b$ について

非負性: |a| ≥ 0.
非退化性: a = 0 のとき、且つそのときに限って、|a| = 0 .
偶性: |−a| = |a|.
劣加法性: |a + b| ≤ |a| + |b| .

などが成立する。これは距離函数が満たす性質と対応する（後述）。また、

冪等性: $| | a | | = | a |.$
乗法性: |ab| = |a||b|.

などの性質が成り立つ。

絶対値函数

実数の絶対値が定める非負実数値函数

\mathbb {R} \ni x\mapsto |x|\in \mathbb {R} _{+}

は絶対値の性質により、y-軸対称な連続関数である。この函数は x = 0 以外で微分可能であり、その導函数

d|x|/dx={\begin{cases}1&(x>0)\\-1&(x<0)\end{cases}}

は符号関数 sgn(x) （あるいは本質的にヘヴィサイドの階段関数）であり、定義可能な範囲 (−∞, 0) ∪ (0, ∞) における連続函数であるが、x = 0 における値をどのように定めるとしても R = (−∞, ∞) の全体で連続な函数へ延長することは出来ない。また絶対値函数は任意区間で可積分であり、その原始函数が

\int |x|\,dx={\frac {1}{2}}x|x|+C

で与えられることも右辺を微分することにより直ちに確かめられる。

絶対値が誘導する距離

詳細は「ノルム」を参照

絶対値の基本性質、非負性・非退化性・偶性・劣加法性は距離函数が満たす性質と対応しており、 $x, y, z$ を任意の実数として

非負性: |x − y| ≥ 0
不可識別者同一性: |x − y| = 0 ⇔ x = y
対称性: |x − y| = |y − x|
三角不等式: |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|

と書いても同値である。即ち $d (x, y) = | x - y |$ と置けば $d$ は距離函数になる。

一般化

順序環における絶対値

任意の順序環 $R$ に対して、 $0$ を $R$ の加法単位元、" $- a$ " は $a$ の加法逆元とすれば、実数の場合とまったく同じく

|x|:={\begin{cases}a&(a\geq 0)\\-a&(a<0)\end{cases}}

として絶対値が定義される。

「全順序群」も参照

複素数の絶対値

複素数 z = a + ib に対して、その絶対値は

|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

で与えられる非負実数値である。b = 0 とすることにより、z が実数値を取るときには実数の絶対値に一致することが確かめられる。

z をガウス平面上の点として解釈すれば、|z| とは原点から z までの距離である。複素数を扱う際に、その数を絶対値と偏角とによって表す極形式の考え方は有益である。

複素数 z とその複素共軛 z に対して

|z|=|{\bar {z}}|

が成り立つ。また、

|z|^{2}=z{\bar {z}}

は z が引き起こすガウス平面上の一次変換の母数（モジュラス）である。

ベクトルのノルム

詳細は「ノルム」および「ノルム空間」を参照

絶対値の概念を拡張したものとしてノルムがある。（実または複素数体） $K$ 上のベクトル空間 $V$ に属するベクトル $v$ のノルムあるいは大きさ (magnitude) または長さ (length) $‖ v ‖$ は、以下の性質

非負性: $‖ v ‖ \geq 0$
非退化性: $v = 0 \Leftrightarrow ‖ v ‖ = 0$
正斉次性: $‖ av ‖ = | a | ‖ v ‖$ ( $a \in K$ )
劣加法性: $‖ v + w ‖ \leq ‖ v ‖ + ‖ w ‖$

を満たす。従って、ノルムは距離 $d (x, y) = ‖ x - y ‖$ を誘導する。上記の実数に対する絶対値、複素数に対する絶対値はどちらもノルムの条件を満たす。絶対値の誘導する距離はノルムの誘導する距離である。

リース空間における絶対値

詳細は「リース空間」および「実数値函数の正部分と負部分」を参照

リース空間と呼ばれる順序線型空間（英語版）のベクトル $v$ に対しては、 $| v | = v \lor (- v)$ で絶対値が定義される。例えば集合 $X$ 上の実数値（あるいはより一般に全順序群に値をとる）函数全体の成す集合は、 $f$ , $g$ に対して $(f \lor g)(x) := max{f (x), g (x)}, (f \land g)(x) := min{f (x), g (x)}$ と置くことによりリース空間となり、各 $f$ に対して

| f |(x) := max{\pm f (x)}

が $f$ の絶対値を与える。 $f \pm := \pm f \lor 0$ と置けば、絶対値は $| f | = f + + f -$ と書ける。

体の賦値

詳細は「賦値」を参照

有理数体上の p-進絶対値など、体の賦値も絶対値の一般化である。賦値には加法賦値と乗法賦値があり、乗法賦値のことをしばしば絶対値あるいはモジュラスと呼称する。特に複素数体 C の部分体がアルキメデス的な乗法賦値を持つならば、それは本項で述べたような通常の絶対値に（同値の差を除いて）一致する。賦値体はその賦値の定める距離位相に関して位相体を成す。

非アルキメデス的な乗法付値は一階の加法的な賦値と対応がとれ、これらはしばしば同一のものとして扱われる。加法的賦値体あるいは順序体においてその賦値環は、その体における正の数全体の集合を本質的に特徴付けるものである。有限体 F_q (q = p^f) において標準的な賦値（モジュラス）は p-進絶対値の冪

|x|_{q}:=q^{-v_{p}(x)}=|x|_{p}^{f}

である。これを適当なハール測度による立方体の体積と理解することもある。

ルベーグ測度

一次元ルベーグ外測度は半開区間上で μ((a, b]) = |b − a| を満たす右連続単調増加な集合函数の定めるスティルチェス測度である。