指数関数

解析学における指数関数（しすうかんすう、英: exponential function ）は、冪乗における冪指数 (exponent) を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 (anti-logarithm, inverse logarithm) と呼ばれることもある^[1]^{[* 1]}。自然科学において、指数函数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数函数的増加を参照）。

一般に、 $a > 0$ かつ $a \neq 1$ なる定数 $a$ に関して、（主に実数の上を亙る）変数 $x$ を $a x$ へ送る函数は、「 $a$ を底 (base) とする指数函数」と呼ばれる。「指数函数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする函数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする冪函数 (power function) とは対照的である。

しばしば、より狭義の函数を意図して単に「指数函数」と呼ぶこともある。そのような標準的な (the) 指数函数（あるいはより明示的に「自然指数函数」）^{[* 2]}はネイピア数 $e$ Template:Mathの呼び出しエラー：数式が入力されていません。 を底とする函数 $x \mapsto e x$ である。これを $exp x$ のようにも書く。この函数は、導函数が自分自身に一致するなど、他の指数函数と比べて著しい性質を持つ。底 $e$ を他の底 $a$ に取り換えるには自然対数 $ln x$ を用いて、等式

a^{x}=e^{x\cdot \ln a}

を適用すればよいから、以下本項では主に自然指数函数について記述し、多くの場合「指数函数」は自然指数函数の意味で用いる。

歴史と概観

ある量の変化（増大または減少）率がその量の現在値に比例するというような状況において、指数函数は生じてくる（指数函数的増大または指数函数的減少）。

そのような例として、連続的複利計算があり、実はヤコブ・ベルヌイが (Bernoulli 1683)^[2] においてこのような複利計算から今日 $e$ と書かれる数

\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

を導いている。後の1697年にヨハン・ベルヌイが指数函数の解析学を研究している^[2]。元本 $1$ に対して年 $x$ の割合で金利を得る複利を考えると、得られる利息は毎月現在値に $x /12$ だから、総額は毎月 $(1+ x /12)$ 倍となり一年で $(1+ x /12) 12$ となる。あるいは、毎日金利を得るものとすれば $(1+ x /365) 365$ である。さらに間隔を短くして年間に金利を得る回数を限りなく増やした極限として、指数函数の定義

\exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

を与えた最初の人はオイラーである^[3]。これは数ある指数函数の特徴付けの一つであり、ほかにも冪級数や微分方程式を用いた定義などがある。

何れの定義に従ったとしても、指数函数は指数法則と呼ばれる基本的な関係式

\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)

を満たすから、指数函数を冪乗の記法を以って $e x$ と書くこともある。

指数函数の変化率、即ち導函数は指数函数自身に一致する。より一般に、変化率が自分自身と（そのものではなく）比例するという性質を持つ函数は、指数函数を用いて表すことができる。函数のこのような性質は指数函数的増加や指数函数的減少と呼ばれる。

指数函数は複素数平面上の整函数に拡張される。オイラーの公式は指数函数の純虚数における値と三角函数を関係付ける。同様に、指数函数は行列変数やより一般のバナハ環に値を取る変数などに対しても定義される。あるいはリー理論における指数写像に一般化される。

厳密な定義

詳細は「指数函数の特徴付け（英語版）」を参照

指数函数 $e x$ を一意的に定義するための特徴付けは、同値な方法がいくつも知られている。中でも以下の冪級数

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots

で定義するのが典型的である^[4]。これは他の方法で指数函数を定義した場合に導くことのできる、指数函数のテイラー級数そのものである。

あまり典型的ではないが、自然対数函数の逆函数という意味で、指数函数 $e x$ を方程式

x=\int _{1}^{y}{dt \over t}

の解 $y$ と定めることもできる。あるいはまた、以下の極限

e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

によっても同じものが定まる^[3]。

初等解析学

底がネイピア数 $e$ である指数関数 $e x$ の導関数は $e x$ 自身となる。

{\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.

解析学においてはこの性質を満たす関数として指数関数を定義する。つまり、指数関数 $exp(x)$ とは、

$\exp(0)=1,$
$\left({\frac {d}{dx}}-1\right)\exp(x)=0.$

を満たす関数のことである。この関数は代数的な定義で示される性質を満たし、両者は一致することが示される。

一般の指数関数 $a x$ の導関数は自然対数 $ln$ を用いて、合成関数の微分公式より、

{\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\ln a}={\frac {{d}(x\ln a)}{{d}x}}{\frac {{d}{e}^{x\ln a}}{{d}(x\ln a)}}=(\ln a)a^{x}

となる。 $a = e$ とすれば $ln e = 1$ なので最初の公式に戻る。

複素指数函数

詳細は「複素指数函数」を参照

複素指数函数 (complex exponential (function) ) は、任意の複素数 $z$ に対して

\exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}

によって定まる整函数である。

$\exp z\,\exp w=\exp(z+w)$
$(\exp z)^{n}=\exp nz$ 　（ただし n は整数）
$\exp z\neq 0$
${\frac {d}{dz}}\exp z=\exp z$

などは、複素関数としても成り立つ。

$x$ が実数であるとき、 $i$ を虚数単位として純虚変数の指数函数 $exp(ix)$ は

exp(ix) = cos x + i sin x

を満たし（オイラーの公式）、 $cis(x)$ とも書かれる（ $cis$ は "cos + i sin" の省略形である）。

任意の複素数 $z$ は、適当な二つの実数 $x, y$ を用いて $z = x + iy$ と表わされるから、複素指数函数は実二変数の函数として

\exp z=\exp x\cdot \operatorname {cis} y=\exp x(\cos y+i\sin y)

と書くこともできる。この函数の（複素多価函数としての）「逆関数」 $log z$ は

\log z=\int _{1}^{z}{\frac {dz'}{z'}}

を満たす。即ちそれは自然対数である。

一般の複素数 $α \neq 0$ を底とし、複素変数 $z$ を指数とする指数関数は、複素変数の対数関数 $log z$ に対して、

\alpha ^{z}=\exp(z\,\log \alpha )=\exp(z\,(\ln |\alpha |+i\arg \alpha ))

とおくことにより定義することができる。これは $log α$ の多価性（偏角 $arg α$ の不定性）により一般には多価関数となり、 $log$ の主値から $α z$ の主値が定まる。例えば、 $n$ を整数として

2^{1/2}=\exp((1/2)\log 2)=\exp((1/2)(\ln 2\,+\,2n\pi i))=\exp(\ln {\sqrt {2}})\exp(n\pi i)=\pm {\sqrt {2}}

となる。ただし、 $e z$ については $exp(z log e)$ のこととは解さず、 $e z = exp(z)$ と理解するのが一般的であるようである。

複素変数への拡張は他にも方法があり、マクローリン展開を用いずに微分の自己再帰性と初期条件だけを与えた正則関数を考えても同じ結論を得る事ができる。

指数関数の実部と虚部
$exp(x + iy)$ の実数部のグラフ
（なお、グラフ中の $re$ は実部、 $im$ は虚部を意味する）
$exp(x + iy)$ の虚数部のグラフ
（なお、グラフ中の $re$ は実部、 $im$ は虚部を意味する）

指数法則等の不成立

正の実数に対する冪や対数についてのいくつかの恒等式は複素数に対しては成り立たない。複素数の冪や複素数の対数が一価関数として定義されたとしてもだ。例えば：

恒等式 log(b^x) = x · log b は b が正の実数で x が実数のときにはいつでも成り立つ。しかし、複素数の対数の主枝（英語版）に対して
$i\pi =\log(-1)=\log \left[(-i)^{2}\right]\neq 2\log(-i)=2\left(-{\frac {i\pi }{2}}\right)=-i\pi$

である。対数のどの分枝が使われているかを考えないと、恒等式の同様な不成立が起こる。（この結果のみを使って）言える最良のことは：
$\log(w^{z})\equiv z\cdot \log(w){\pmod {2\pi i}}$

恒等式 log(b^x) = x · log b は log を多価関数と考えるときでさえ成り立たない。log(w^z) の取り得る値は z · log w の取り得る値を部分集合として含む。log(w) の主値を Log(w) とし、m, n を任意の整数とすると、両辺の取り得る値は：
${\begin{aligned}\left\{\log(w^{z})\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in+2\pi im\right\}\\\left\{z\cdot \log(w)\right\}&=\left\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in\right\}\end{aligned}}$
恒等式 (bc)^x = b^xc^x および (b/c)^x = b^x/c^x は b と c が正の実数で x が実数のときには正しい。しかし主枝を用いた計算によって示されるのは
$1=((-1)\times (-1))^{\frac {1}{2}}\not =(-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1$

および
$i=(-1)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}\not ={\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i$

である。一方、x が整数のとき、恒等式はすべての 0 でない複素数に対して成り立つ。

指数関数を多価関数として考えれば、((−1)×(−1))^1/2 の取り得る値は {1, −1} である。恒等式は成り立つが {1} = {((−1)×(−1))^1/2} と言うことは間違っている。

恒等式 (e^x)^y = e^xy は実数 x と y に対して成り立つが、複素数に対してそれが正しいと仮定すると次のパラドックス（英語版）が生じる。1827年に Clausen（英語版）によって発見された^[5]。
任意の整数 n に対して、
1. $e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e$
2. $\left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e$
3. $e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e$
4. $e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e$
5. $e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1$
しかしこれは整数 n が 0 でないとき誤りである。

理由としてたくさんの問題がある：

主要な誤りは、2行目から3行目に行くときに指数の順番を変えることで選ばれる主値が変わることだ。

多価関数の視点から見ると、最初の誤りはもっと早く起きている。一行目で暗に含まれているのは、e は実数である一方 e^1+2πin の結果は e+0i としてよりよく表現される複素数である。2行目の実数に複素数を代入することでベキが複数の値を取り得るようになる。2行目から3行目で指数の順番を変えることはまたいくつの値を結果が取り得るかに影響する。 $\scriptstyle (e^{z})^{w}\;=\;e^{zw}$ ではなくむしろ $\scriptstyle (e^{z})^{w}\;=\;e^{(z\,+\,2\pi in)w}$ であり整数 n 上多価である。

対数螺旋との関係

複素数の実数乗、つまり、実数 x を変数とする指数関数 z^x は、z = e^{a + bi} と表したときの a + bi が純虚数でも実数でもないとき、対数螺旋

r=\exp(a/b)^{\theta }

をなす。

一般化

二重指数関数

詳細は「二重指数関数」を参照

二重指数関数とは、 $f(x)=a^{b^{x}}$ の形で表現される関数のことである。

$p$ -進指数函数

詳細は「p進指数函数（英語版）」を参照

テイラー級数による定義において、変数をそのまま複素数とすることによりガウス平面 $C$ 上で複素指数函数が定められるのと同様に、 $p$ -進数を変数とすることにより、 $p$ -進数の全体 $Q p$ 上の函数として $p$ -進指数函数が定義される。

行列の指数関数

詳細は「行列の指数関数」を参照

上記のテイラー展開の $x$ に任意の正方行列 $X$ を代入することにより、行列の指数関数 $exp X$ が定義される。

とくに、 $X$ が $n$ 次の実一般線型群 $GL(n, R)$ のリー環 $gl(n, R)$ すなわち $n$ 次の実正方行列全体を亘るとすれば、この指数関数

\exp \colon {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )\to {GL}(n,\mathbb {R} )

はリー環からリー群への指数写像の一つの例を与える。

注釈

^ "Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm)…" – p. 12 of Converse; Durrell (1911), Plane and spherical trigonometry, C.E. Merrill co.
^ 英語で exponential function と the exponential function とを区別することがあるように、ドイツ語では一般の底に関する指数函数を exponentiellen Funktionen（指数の函数）、自然指数函数を Exponentialfunktion のように区別することもある。

出典

^ MSDN の Exp 関数の解説
^ ^a ^b John J O'Connor; Edmund F Robertson. “The number e”. School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. 2011年6月13日閲覧。
^ ^a ^b Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.
^ Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 1. ISBN 978-0-07-054234-1
^ Steiner, J., Clausen, T., Abel, N. H. (1827). “Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 2: 286–287.