六万五千五百三十七角形

正65537角形を描くように Scalable Vector Graphics で記述したものの出力結果。ほとんど円と見分けが付かない。

六万五千五百三十七角形（ろくまんごせんごひゃくさんじゅうしちかくけい、ろくまんごせんごひゃくさんじゅうななかっけい）は、多角形の一つで、65537本の辺と65537個の頂点を持つ図形である。内角の和は11796300°、対角線の本数は2147450879本である。

特筆すべきは、正65537角形は定規とコンパスによる作図が可能、ということである。以下、正65537角形について記述する。

性質

正65537角形の形状は、辺の数が非常に多いためほとんど真円と見分けが付かない。正65537角形の中心角と外角の大きさは

${\frac {360^{\circ }}{65537}}\approx {0.005493^{\circ }}\approx 19.775''$

である。半径 1 の円に内接する正65537角形の面積は、

${\frac {65537}{2}}\sin {\frac {2\pi }{65537}}\approx 3.141592648777$

で、円の面積である円周率に極めて近い。一辺の長さは

$2\sin {\frac {\pi }{65537}}\approx 0.00009587$

である。例えば、200メートル四方のグラウンドにできるだけ大きく正65537角形を描いても、一辺の長さは1センチメートル弱（約9.58ミリメートル）しかない。

作図可能性

「定規とコンパスによる作図#作図可能な正多角形」も参照

65537 は

$2^{2^{4}}+1$

の形で表され、知られているうちで最大のフェルマー素数である。カール・フリードリヒ・ガウスは1801年に出版した『整数論の研究』において、p がフェルマー素数ならば正 p 角形は定規とコンパスで作図可能であることを証明した。また、逆に、奇素数 p に対して正 p 角形が作図可能ならば、p はフェルマー素数であることも証明した。知られているフェルマー素数は、ガウス以前から

3, 5, 17, 257, 65537 （オンライン整数列大辞典の数列 A19434）

のみであり、これで全てであろうと予想されている。

正65537角形がコンパスと定規で作図可能であることは、1の原始65537乗根（のひとつ）

$\cos {\frac {2\pi }{65537}}+i\sin {\frac {2\pi }{65537}}\approx 0.9999999954042+0.0000958723362i$

の実部と虚部が共に、有理数から始めて四則および平方根を取る操作を有限回組み合わせて表現できることを意味する。

作図法

ガウスは結果的に正65537角形が作図可能であることを証明したが、具体的な作図法を与えたわけではない。もっとも、その証明および背景をよく理解すれば、原理的には作図法を導くことができるが、それは膨大な作業である。ドイツのヨハン・グスタフ・ヘルメスは、10年の歳月をかけて正65537角形の作図法を調べ、1894年に計算の要旨のみの報告を雑誌に発表した。200ページを超える原稿は、ゲッティンゲン大学に保管されている。

遠山啓『数学入門』には、正65537角形の作図がいかに膨大な作業であるかを表現したと考えられる、正65537角形の作図法を調べた人物についての、伝説的な逸話が紹介されている。

関連項目

• フェルマー数
• 定規とコンパスによる作図
• カーライル円

外部リンク

• sin波形cos波形tan波形cot波形svg画像 - 三角関数 sin波形、cos波形、tan波形、cot波形を、SVG画像のベジェ曲線で近似した例。
• ベジェ曲線で描く円と真円の差について - ベジェ曲線の正円誤差を正確に解説している。
• 中学生でもわかるベジェ曲線 - 作図法をアニメーションで概説している。
• Bezier Surface - C言語とOpenGLによるベジェ曲面（線）の描画方法（英語版）
• Weisstein, Eric W. "65537-gon". mathworld.wolfram.com (英語).