コヒーレント状態

物理学とくに量子力学においてコヒーレント状態とは、消滅演算子の固有状態のことを指す。

グラウバーのコヒーレント状態

光というひとつの電磁現象に対して、「波動として表現される古典的電磁場」と「粒子として表現される量子力学的な光子場」とでは記述法が全く異なっている。波動的性質を表す量として位相$\phi$を、粒子的性質を表す量として粒子数$n$を考えると、両者の間には次のような関係がある。

$\Delta n\cdot \Delta \phi \gtrsim 1$

古典的波動$\Delta \phi \approx 0$に近い状態では、nで指定される量子状態を数多く重ねあわせて得られることが予想される。ロイ・グラウバーは古典的電磁場${\mathbf {E} }\cos \omega t$や${\mathbf {H} }\sin \omega t$に最も近い量子力学的状態の確率分布を、電場${\mathbf {E}}$と磁場${\mathbf {H}}$の間に存在する不確定性関係

$|\Delta {\mathbf {E} }||\Delta {\mathbf {H} }|\gtrsim c\hbar \omega /2\pi V$

(Vは電磁場の平均値を求める際の体積)において等号が成立する条件から求めた。このグラウバーのコヒーレント状態は、不確定最小の条件が、時間の経過にかかわらずいつまでも保たれる量子力学的状態である。この状態の確率分布は次のような、幅が一定値${\sqrt {2}}{\bar {e}}$で分布の中心が振幅$2{\bar {e}}|\alpha |$、角振動数$\omega$で単振動をするガウス型の波束となる。

$P(E,t)={\frac {1}{{\sqrt {2}}\pi {\bar {e}}}}\exp {\bigg [}-{\frac {1}{2{\bar {e}}^{2}}}{\big \{}E-2{\bar {e}}|\alpha |\cos \omega t{\big \}}^{2}{\bigg ]}$

ここで${\bar {e}}$は以下で定義される場の強さ、すなわちVの中に光子が1個だけ存在する時の平均電場である。

${\frac {1}{2}}\varepsilon {\bar {e}}^{2}V={\frac {1}{2}}\hbar \omega$

また$|\alpha |^{2}$は以下で定義される平均光子数である。

$|\alpha |^{2}={\bigg (}{\frac {1}{2}}\varepsilon E^{2}+{\frac {1}{2}}\mu H^{2}{\bigg )}V/\hbar \omega ={\bar {n}}$

コヒーレント状態はまた消滅演算子に対して${\sqrt {\bar {n}}}$を固有値とする固有状態になっている。このことからコヒーレント状態$|\alpha \rangle$を光子数確定状態$|\alpha \rangle$で展開すると

$|\alpha \rangle =\sum _{n}{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}\exp {\bigg [}-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}{\bigg ]}|n\rangle$

と表されることが証明できる。これから、コヒーレント状態において光子数$n$が現れる確率は次のようにポアソン分布になることがわかる。

$P_{n}={\frac {{\bar {n}}^{n}}{n!}}\exp[-{\bar {n}}]$

コヒーレント状態の光子数分布は、熱平衡における光子数分布と著しく異なっている。しきい値より十分高い励起を与えられたレーザーの出力光の光子数分布は、コヒーレント状態に近くなっている。

参考文献

• 『物理学辞典』 培風館、1984年