Smn定理

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本来の表記は「smn定理」です。この記事に付けられた題名は記事名の制約から不正確なものとなっています。

smn定理とは、再帰理論における定理であり、プログラミング言語(より一般化すれば、計算可能関数ゲーデル数)の基盤となっている[1][2]。これを最初に証明したのはスティーブン・コール・クリーネである[3]s-m-n定理と表記されることもある。

この定理を実用的に解説すると、あるプログラミング言語と正の整数 mn があるとき、m+n 個の自由変数を持つプログラムのソースコードを操作する特定のアルゴリズムがあることを示している。そのアルゴリズムは、与えられた m 個の値を最初の m 個の自由変数に束縛し、残りの変数を自由変数のままにしておく。

詳細[編集]

本定理の基本形は、2引数の関数に適用される。再帰関数のゲーデル数 φ が与えられたとき、次のような性質の2引数の原始再帰関数 s が存在する。すなわち、あらゆる2引数の関数 f のゲーデル数 p について、同じ x と y の組合せでの \varphi_{s(p,x)}(y)f(x,y) が定義され、その組合せにおいて等しい。言い換えれば、次のような外延的等価性が成り立つ。

\varphi_{s(p,x)} = \lambda y.\varphi_p(x,y)\,

これを一般化するため、元の数を原始再帰関数で引き出せるように、n 個の数を1つの数に符号化する方法を採用する。例えば、それらの数のビットをインターリーブするといった符号化が考えられる。すると任意の正の数 mn について、m+1 個の引数をとる原始再帰関数 s^m_n が存在し、次のように振舞う。すなわち、あらゆる m+n 引数の関数のゲーデル数 p について、

\varphi_{s^{m}_{n}(p,x_1,\dots,x_m)} = \lambda y_1,\dots,y_n.\varphi_p(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n)\,

となる。s^1_1 は、関数 s そのものである。

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以下のLISPのコードは、s11 を実装したものである。

(defun s11 (f x)
  (list 'lambda '(y) (list f x 'y))

例えば、(s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3) を評価すると (lambda (y) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 y)) になる。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Soare, R. (1987年). Recursively enumerable sets and degrees. Perspectives in Mathematical Logic. Springer-Verlag. ISBN 3-540-15299-7. 
  2. ^ Rogers, H. (1987年) [1967年]. The Theory of Recursive Functions and Effective Computability. First MIT press paperback edition. ISBN 0-262-68052-1. 
  3. ^ Kleene, S. C. (1943年). “General recursive functions of natural numbers”. Mathematische Annalen 53: 727–742. 

参考文献[編集]

  • Odifreddi, P. (1999年). Classical Recursion Theory. North-Holland. ISBN 0-444-87295-7. 

外部リンク[編集]