qポッホハマー記号

数学において、qポッホハマー記号(q-Pochhammer symbol)はqアナログの数式に頻出する乗積を略記する記号である。

$\begin{align} &(a;q)_\infty=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k)\\ &(a;q)_n=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}\\ \end{align}$

$|q|<1$の仮定が普通であり、実用上、$n$は整数であることが多い。$n$が整数である場合は

$(a;q)_n=\begin{cases} \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)&n>0\\ 1&n=0\\ \displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-aq^k)}&n<0\\ \end{cases}$

となる。$m,n$が整数であり、$a=q^{-m}$であるとき、$0{\le}m<n$であれば$(q^{-m};q)_n=0$であり、$n{\le}m<0$であれば$(q^{-m};q)_n$である。

更なる略記

基底(base)が文字$q$である場合は省略することがある。

$\begin{align} &(a)_n=(a;q)_n\\ &(q)_n=(q;q)_n\\ \end{align}$

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

$\begin{align} &(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\ \end{align}$

変換式

以下の変換式が成立する。

$\begin{align}(aq^{-n+1};q)_n &=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n\\ \end{align}$

qブラケット

qブラケット(q-bracket)は整数、実数、複素数などのqアナログを表す記号である。

$[n]=[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q}=\sum_{n-1}^{k=0}q^k$

q階乗

q階乗(q-factorial)は階乗のqアナログである。（分母は普通の冪乗であることを為念）

$[n]_q!=\prod_{k=1}^{n}[k]_q=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}$

q二項係数

q二項係数(q-binomial coefficient)は二項係数のqアナログである。

$\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}_q=\frac{[n]_q!}{[n-k]_q![k]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_{n-k}(q;q)_k}$