N=4 超対称ヤン・ミルズ理論

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N=4 超対称ヤン・ミルズ理論(N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory)は、弦理論と似た、共形場を持つ単純な系を通して素粒子を研究する数学的、物理的モデルである。ヤン・ミルズ理論を基礎とする単純化されたトイモデル英語版であり、現実の世界を記述するわけではないが、より複雑な理論へ挑戦する基礎を提供するので有益である。[1] この理論は、4つの超対称性(これはボゾン場英語版(boson field)とフェルミオン場英語版(fermion field)を入れ替え、スカラー場は理論の不変量としてある方法で予想とすることを意味する)により関連付けられたボゾン場とフェルミオン場を持つ宇宙を記述する。(ゲージ群を除き、自由パラメータがないので、)N=4 超対称ヤン・ミルズ理論は、最も単純な理論の一つで、数少ない 4次元の場の量子場論のうちの一つであり、重力を含まない最も対称性の高い理論と考えることができる。

ラグランジアン[編集]

この理論のラグランジアン[2]

L = \operatorname{tr} \left\{-\frac{1}{2g^2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\frac{\theta_I}{8\pi^2}F_{\mu\nu}\bar{F}^{\mu\nu}- i \lambda^a\sigma^\mu D_\mu \lambda_a -D_\mu X^i D^\mu X^i
+g C^{ab}_i \lambda_a[X^i,\lambda_b] +C_{iab}\lambda^a[X^i,\lambda^b]+\frac{g^2}{2}[X^i,X^j]^2 \right\}

であり、ここに 
F^k_{\mu\nu} = \partial_\mu A^k_\nu-\partial_\nu A^k_\mu+g f^{klm}A^l_\mu A^m_\nu
であり、インデックス i,j = 1, ..., 6 で、a, b = 1, ..., 4 である。f はゲージ群の群定数である。

10次元ラグランジアン[編集]

上のラグランジアンは、より単純な 10次元ラグランジアン


L = \operatorname{tr} \left\{ \frac{1}{g^2} F_{IJ} F^{IJ} - i \bar{\lambda} \Gamma^I D_I \lambda \right\}

から始めることで理解することができる。ここに、I と J は 0 から 9 までを渡り、\Gamma^I は 32 × 32 のガンマ行列である。( 32=2^{10/2} ) は、チャーン類である \theta_I を項に加えることにより得ることができる。

i = 4 から 9 までのゲージ場の成分 A_i は、余剰次元を省略している部分のスカラーとなる。 このことは余剰次元での回転として、SO(6) R-対称性英語版(R-symmetry)との解釈もできる。

T6 上へのコンパクト化により、全ての超電荷(supercharges)[3]は保存され、4次元理論で N=4 を与える。この中で共形対称性を言うことは、超共形場理論英語版(superconformal field theory)を構成するコンパクト化をも再現する。

理論のタイプIIB超弦理論での解釈は、D3-ブレーンのスタックの理論のワールドヴォリューム理論である。

S-双対[編集]

結合定数 \theta_I と g は次の形で自然にペアをなす。

 \tau = \frac{\theta}{2\pi}+\frac{4\pi i}{g^2}.

理論は整数でのシフト τ という対称性を持っている。S-双対予想英語版(S-duality conjecture)は、群 G と G のラングランズ双対群英語版(Langlands dual group)を取り換えるような関係: \tau \mapsto \frac{-1}{n_G\tau} という対称性が存在することを言っている。

AdS/CFT対応[編集]

この理論は、ホログラフィック原理の脈絡でも重要である。AdS5 × S5 空間(5 次元球面英語版(sphere)を境界として持つ 5次元 AdS 空間上のタイプIIB超弦理論と AdS5 上の 4次元境界の上の N = 4 ヤン・ミルズ理論の間には双対性がある。この双対性は、ホログラフィック原理を最もうまく実現していて、元々はヘーラルト・トホーフト(Gerard 't Hooft)に提案されレオナルド・サスカインド(Leonard Susskind)により改善され強調された量子重力理論のアイデアへ見通しをつけている。

可積分性[編集]

色の数が無限へ向かうと、振幅は N^{2-2g} のようにスケールするので、プレイナーグラフ(planar graph)、つまり、種数 0 の寄与が復活する。詳細は、1/N展開(1/N expansion)を参照。

ベイサート(Beisert)たちは、レヴュー論文を書き、この状況下で局所作用素がどのようにして「スピン」チェーンの中のある状態を通して表現可能であるかを示した。そこでは通常のスピンの su(2) というよりももっと大きな超リー代数英語版(Lie superalgebra)を基礎としている。これらはベーテ仮設英語版(Bethe ansatz)のテクニックに従い、散乱振幅上の付随するヤンギアン英語版(Yangian)の作用英語版(action)をも構成する。[4]

ニーマ・アルカニ=ハメド英語版(Nima Arkani-Hamed)たちは、この問題を研究し、ツイスター理論(twistor theory)を使い、正のグラスマン多様体英語版(Grassmannian)の言葉で記述することを発見した。[5] アンプリチュヘドロン英語版(Amplituhedron)を参照。

11次元M-理論との関係[編集]

N=4 超対称ヤン・ミルズ理論は、より単純な 10次元理論より導出することができ、超重量理論や M-理論は、11次元に存在している。このつながりは、SYM のゲージ群 U(N) が N\rightarrow \infty につれて無限大となるとすると、行列モデルの理論として知られている 11次元理論と等価となる。

参照項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Matt von Hippel. “Earning a PhD by studying a theory that we know is wrong”. Ars Technica. 2014年4月30日閲覧。
  2. ^ Luke Wassink (2009年). “N = 4 Super Yang–Mills theory”. 2013年5月22日閲覧。
  3. ^ ボゾンとフェルミオンを互いに入れ替える変換の作用素のことを言う。
  4. ^ Beisert, Niklas (January 2012). “Review of AdS/CFT Integrability: An Overview”. Letters In Mathematical Physics 99: 425. arXiv:1012.4000. Bibcode 2012LMaPh..99..425K. doi:10.1007/s11005-011-0516-7. 
  5. ^ Nima Arkani-Hamed; Bourjaily, Jacob L.; Freddy Cachazo; Goncharov, Alexander B.; Alexander Postnikov; Jaroslav Trnka (2012年). “Scattering Amplitudes and the Positive Grassmannian”. arXiv:1212.5605 [hep-th].