B-スプライン曲線

B-スプライン曲線（B-スプラインきょくせん、B-spline curve）とは、与えられた複数の制御点から定義される滑らかな曲線である。区分多項式により表現されているため、一部を変更しても曲線全体に影響は及ばない等の性質がある。ベジエ曲線とともに、コンピュータグラフィックスの世界で広く利用されている。なお、B-splineはBasis spline（Basis＝基底）の省略形である（en:B-Spline）。基本的に曲線は制御点を通らない。

定義

制御点をP_iとすると、n次のB-spline曲線は

$\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-n-2} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [t_{n},t_{m-n-1}]$.

と表される。ここで、t_iはノット（knot）と呼ばれるm 個の実数である。

$t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_{m-1}$

また、b_i,nはB-スプライン基底関数（B-spline basis function）と呼ばれ、de Boor Coxの漸化式 によって次のように定義される。

$b_{j,0}(t) := \left\{ \begin{matrix} 1 & \mathrm{if} \quad t_j \leq t < t_{j+1} \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{matrix} \right.,\qquad j=0,\ldots, m{-}2$

$b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t) ,\qquad j=0,\ldots, m{-}n{-}2.$

例

一様２次B-スプライン曲線

一様なノットにおける２次B-スプライン曲線において、B-スプライン基底関数は次のようになる。

$b_{j,2}(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}t^2 \\ -t^2 + t + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}(1-t)^2 \end{cases}$

これを行列形式にすると、

$\mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \end{bmatrix}$ for $t \in [0,1], i = 1,2 \ldots m-2$

となる。

制御点と曲線

基本的に曲線は制御点を通らないが、例えば

$t_0=t_1=t_2=0$

のように連続した複数のノットに対し、同一の値を与えることで、対応する制御点に曲線を通すことができる。 上式の場合、以下のようになり、曲線の始点が0番目の制御点と一致する。

$\mathbf{S}(0)= \mathbf{P}_{0}$.

関連項目

• スプライン曲線
• ベジェ曲線
• NURBS

外部リンク

• Interactive java applets for B-splines
• Weisstein, Eric W., "B-Spline" - MathWorld.（英語）