72の法則

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72の法則( -ほうそく)とは、資産運用において元本が2倍になるような年利と年数とが簡易に求められる法則である。

概要[編集]

式は以下の通り。

年利(単位:%)×年数(単位:年) = 72

72の法則の信頼性
年数
 N
N年で2倍に
なる年利率(%)
年数×利率
2 41.4 82.8
4 18.9 75.7
6 12.2 73.5
8 9.1 72.4
12 5.9 71.4
20 3.5 70.5

上記の式の「年利(%)」に年利率[複利]]を当てはめると元本が2倍になるのに必要な年数が求められる。逆に、「年数」に運用年数を当てはめると元本が2倍になるのに必要な年利が求められる。上記式は年利(%)=8%付近で誤差が小さい。

元金Aが2倍になる年利率rと年数Nは以下の式の関係になっている。

2A=A(1+r)^N

72の法則が成り立つ数学的根拠は、2の自然対数が0.693147...であるから、 100 * \ln2 = 69.3147... であり、これと近い72が約数が多いという理由で採用されている、という単純なものである。

いくつかの年数について計算した結果を右表に示す。

「スムマ」における記述[編集]

誰が72の法則を見いだしたかは知られていないが、文献上の初出は、イタリアの数学者で、「会計の父」とも呼ばれるルカ・パチョーリが1494年に出版した『スムマ』と呼ばれる数学書である。この書は、原題は、Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità (Venice 1494)であり、日本語では、「算術・幾何・比及び比例全書」などと訳される。 この書に、次の問題が出ている。

(Fol. 181, n. 44.) 'A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 I'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 per 100 I'anno, dico che si parta 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale.'[1]

上記の英語訳は次の通りである。You want to know for every percentage interest per year, how many years will be required to return double the original capital, you hold the rule 72 in mind, which always you will divide by the interest, and the result will determine in how many years it will be doubled. Example: When the interest is 6 per 100 per year, I say that you divide 72 by 6; that is 12, so in 12 years the capital will be doubled.[2]

一部ネット上でこの法則がアインシュタインによって発見されたとする説が流布されているが、前述の通り15世紀のイタリアでは知られていた。

出典[編集]

  1. ^ [1] 最終ページ(p.22)。原著ではp.181。右側の最後の段落、全部で5行に亘っている。なお、「p.c.」はpercentageを表す。
  2. ^ [2] St-and.ac.uk A Napierian logarithm before Napier, John J O'Connor and Edmund F Robertson

関連項目[編集]

  • 2の自然対数#その他の性質 - 数学的議論はこちらを参照のこと。金利が100%と比べて充分に小さい場合、かけた値は100log2( = 69.31...)に近づく。