黄金進法

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黄金進法(おうごんしんぽう、golden ratio base, phinary)は、黄金比φ = (1+√5)/2 ≈ 1.61803399)をとした広義の記数法である。全ての非負実数はφを底とした0, 1列によって表され、このうち "11" の連続を除いたものを「標準形」と呼ぶ。"11" を含むφ進表記は、φ + 1 = φ2 という関係を用いて標準形に書き直すことができる。例えば 11φ = 100φ である。

黄金進法は無理数を底とした記数法であるが、全ての非負整数は一通りの(有限)φ進表現を持つ。また、有理数は循環小数として表すことができる。これらの表現は10進法でいうところの 1 = 0.999... のような場合を除いて一意的である。

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10進 φの累乗の和 φ進
1 φ0 1     
2 φ1 + φ-2 10.01  
3 φ2 + φ-2 100.01  
4 φ2 + φ0 + φ-2 101.01  
5 φ3 + φ-1 + φ-4 1000.1001
6 φ3 + φ1 + φ-4 1010.0001
7 φ4 + φ-4 10000.0001
8 φ4 + φ0 + φ-4 10001.0001
9 φ4 + φ1 + φ-2 + φ-4 10010.0101
10 φ4 + φ2 + φ-2 + φ-4 10100.0101

黄金進数の標準形[編集]

以下、下線はその桁が負であることを意味するものとする。例えば、211.01φ は、2φ2 + φ1 + 1 - φ-2 の意である。この表現は、"2" や "1"("0"、"1"以外の数)、"11" を含むため、標準形ではない。後述する四則の計算の際に、このような表現を標準形に直す必要が出てくる。

「標準化」には、以下の置換を用いる。

  • 011φ = 100φ (φ + 1 = φ2 の意)
  • 0200φ = 1001φ (2φ2 = φ3 + 1 の意)
  • 010φ = 101φ (-φ = -φ2 + 1 の意)

置換はどの順序で行っても結果は同じである。以下に示す例では、右が適用した置換で、左がその結果である。

  211.01φ
  300.01φ     011φ → 100φ
 1101.01φ     0200φ → 1001φ
10001.01φ     011φ → 100φ(再)
10001.101φ    010φ101φ
10000.011φ    010φ101φ(再)
10000.1φ      011φ → 100φ(再)

この方法で、任意のの非標準形φ進数は一意に標準化できる。上記のルールでできる限りの置換を行った結果、先頭の桁が 1 であれば、その表現は負の数である。マイナスの符号を付して、1 と 1 を互いに入れ替えることにより、符号付きの標準形を得ることができる。例えば、

101φ = -101φ = -110.1φ = -1.1φ = -10φ

などと計算される。

整数の黄金進数表現[編集]

通常の意味での整数を、黄金進数で表すと有限小数となる。例として、整数 5 をφ進法で表す手続きを見よう。

5 以下で最も大きなφの冪は φ3 = 1 + 2φ ≈ 4.236 である。5 との差を取ると、5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763 である。これ以下で最も大きなφの冪はφ-1 = -1 + 1φ ≈ 0.618 である。差を取ると、4 - 2φ - (-1 + 1φ) = 5 - 3φ ≈ 0.145 である。これ以下で最も大きなφの冪は φ-4 = 5 - 3φ ≈ 0.145 である。差を取ると 0 である。したがって、

5 = φ3 + φ-1 + φ-4

であり、φ進法で表すと 1000.1001φ である。

ここで暗に用いている事実は、φの冪は全てある整数 a, b を用いて a + b φの形で書ける、ということである。これを確かめるには、φ2 = φ + 1 と φ-1 = -1 + φ に注意すればよい。そして、このような形の数同士の大小を調べることは易しい。実際、a + bφ > c + dφ は 2(ac) - (db) > (db) × √5 と同値であり、この大小関係は一方のみが正であれば自明であるし、そうでなければ両辺を平方することにより確かめられる。

黄金進法により有限小数となるのは、通常の意味での整数のみならず、

\mathbb{Z}[\phi]:= \{ a+b\phi \mid a,b \in \mathbb{Z} \}

であり、またそれに限ることが容易に分かる。

非一意性[編集]

N進数のときと同じように、黄金進数にも複数の表現がある。10進法における 0.999...=1 と同様に、φ進法では 0.1010101…φ が 1 と等しいことが、以下の各方法で確かめられる。

  • 非標準形に変換する: 1 = 0.11φ = 0.1011φ = 0.101011φ = … = 0.10101010…φ
  • 等比級数: 1.0101010…φ は以下に等しい
    \sum_{k=0}^\infty \phi^{-2k}=\frac{1}{1-\phi^{-2}} = \phi
  • "シフト"して差分を取る: φ2 x - x = 10.101010…φ - 0.101010…φ = 10φ = φ このとき x = φ/(φ2 - 1) = 1

この非一意性は記数法の特徴であり、1.0000 も 0.101010… も標準形である。一般に、φ進数における最後の 1 を 01 の繰り返しに置換することによって、別の標準形を作ることができる。

有理数の黄金進数表現[編集]

非負の有理数は黄金進数表現として循環小数で表すことができる。実は、循環小数で表すことができるのは、通常の意味での有理数のみならず、Z[φ] の商体

\mathbb{Q}(\phi)=\mathbb{Q}(\sqrt{5}):= \{ a+b\sqrt{5} \mid a,b \in \mathbb{Q} \}

の元であり、またそれに限る。いくつか例を挙げる。

  • 1/2 = 0.010 010 010 010…φ
  • 1/3 = 0.00101000 00101000 00101000…φ
  • √5 = 10.1φ
  • 2+(1/13)√5 = 10.010 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000 1000100010101000100010000000…φ

Q(φ) の元の黄金進数表現が有限小数となることの証明は、通常の十進法の場合と同様である。実際、割り算を筆算で行った場合の余りの可能性は有限個しかないため、繰り返しのパターンが現れる。例えば、1/2 = 1/10.01φ = 100φ/1001φ の筆算は次のようになる。

              0.0 1 0 0 1 ...
        ------------------------
1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
            1 0 0 1
            -------
                1 0 0 0 0
                  1 0 0 1
                  -------
                      ...

ここに、引き算が少々難しいが、10000φ = 1100φ = 1011φ より 10000φ - 1001φ = 10φ であることを用いている。

逆に、黄金進数表現で循環小数であるものが Q(φ) の元に限ることを見るには、循環小数の意味するところが、公比がφの冪である等比級数であることに注意すればよい。

無理数の黄金進数表現[編集]

通常の意味での無理数であっても、Q(φ) の元であれば黄金進数表現において有限小数となる。

  • φ = (1+√5)/2 = 10φ
  • √5 = 10.1φ

一方、Q[φ] の元でない実数は循環しない無限小数となる。

四則計算[編集]

10進法の通常の四則と同様にして、φ進法においても四則が行える。加法、減法、乗法については、以下のように大きく2つの方法がある。

計算して標準化[編集]

2つのφ進数の加法として、各々の桁を(繰り上がり等を気にせず)そのまま足してから標準形に直す方法が考えられる。減法も同様に(上の桁から借りてくることを気にせず、必要なら 1 の記号を用いることにより)そのまま引いてから標準化すればよい。乗法も同様である。以下に計算の例を挙げる。

  • 2 + 3 = 10.01φ + 100.01φ = 110.02φ = 110.1001φ = 1000.1001φ
  • 7 - 2 = 10000.0001φ - 10.01φ = 10010.0101φ = 1110.0101φ = 1001.0101φ = 1000.1001φ
  • 2 × 3 = 10.01φ × 100.01φ = 1000.1φ + 1.0001φ = 1001.1001φ = 1010.0001φ

0と1以外の数字を避ける[編集]

さらに「自然な」方法として、1 + 1 の加法または 0 - 1 の減法を避ける方法がある。これはφ進数を非標準形に置換することによって実現できる。例えば、次のようにする。

  • 2 + 3 = 10.01φ + 100.01φ = 10.01φ + 100.0011φ = 110.0111φ = 1000.1001φ
  • 7 - 2 = 10000.0001φ - 10.01φ = 1100.0001φ - 10.01φ = 1011.0001φ - 10.01φ = 1010.1101φ - 10.01φ = 1000.1001φ

除法[編集]

すでに見たように、除法は筆算によって行うことができる。商が Z[φ] の元ならば筆算が有限回で終了して有限小数となり、Q(φ) の元ならば繰り返しが生じて循環小数を得る。

フィボナッチ符号との関係[編集]

フィボナッチ符号英語版フィボナッチ数の重みを持つ0,1列である。φ進法と同じように、標準形は Fk+1 = Fk + Fk-1が適用され、"11" を持たない。例えば、30 は

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010fib

と表現される。

参考文献[編集]

  • H. ヴァルサー 著 『黄金分割』 蟹江幸博 訳、日本評論社、2002年9月、131-134頁。ISBN 4-535-78347-0
  • Bergman, George (1957), “A Number System with an Irrational Base”, Mathematics Magazine 31 (2): 98–110 
  • Plojhar, Jozef (1971), “the Good~natured Rabbit~breeder”, Manifold 11: 26–30 

外部リンク[編集]