順序群

抽象代数学における（半）順序群（じゅんじょぐん、英: [partially] ordered group^{[注釈 1]}）は、両側移動不変な順序関係を付加的な構造として備えた群である。

定義[編集]

群 $(G, \cdot)$ と $G$ 上の順序 $\leq$ が与えられ $G$ の任意の元 $a, b, g$ に対して

a \leq b

ならば

ag \leq bg

かつ

ga \leq gb

が成り立つ

という意味で順序 $\leq$ と群演算 " $\cdot$ " とが両立するとき、 $(G, \cdot, \leq)$ は順序群であるという。紛れの惧れがないならばこれを単に順序群 $G$ と書く。

以下、群演算の可換性を仮定しないが、順序群は加法的に記すものとする。即ち、群演算を " $+$ ", 群の単位元を $0$ , $x$ の逆元を $-x$ で表す。

順序群 $G$ の元 $x$ が $G$ の正元 (positive element) とは $0 \leq x$ を満たすことを言う。 $G$ の正元全体の成す集合を $G$ の正錐 (positive cone) と呼び、しばしば $G +$ で表す。正錐を用いれば、 $a \leq b \Leftrightarrow - a + b \in G +$ と書ける。

一般の群 $G$ に対して、正錐の存在は $G$ を順序群とする順序を一意的に定める。即ち、群 $G$ が順序群となるための必要十分条件は、以下の条件を満たす部分集合 $H$ が存在することである（この $H$ が正錐 $G +$ になる）。

$0 \in H$
$a \in H$ かつ $b \in H$ ならば $a + b \in H$
$a \in H$ ならば $- x + a + x \in H$ が各 $x \in G$ に対して成り立つ。
$a \in H$ かつ $- a \in H$ ならば $a = 0$ である

従ってしばしばこの条件を満たす組 $(G, H)$ を順序群と定義することもある。

諸概念[編集]

順序群 $G$ とその正錐 $G +$ に対し、 $G$ が無孔 (unperforated) であるとは、適当な自然数 $n$ に対して $n\cdotg \in G +$ ならば必ず $g \in G +$ が成り立つことを言う。無孔であることは、正錐 $G +$ に「隙間」("gap") がないことを意味する。

順序群の順序が全順序ならば全順序群（または線型順序群）といい、順序が束（つまり任意の二元集合が上限を持つ）ならば束群 (lattice-ordered group; ℓ-group) と呼ぶ。

リース群は束群より少し弱い性質を満たす無孔順序群である。つまり、リース群は

リースの補間条件:

G

の任意の元

x 1, x 2, y 1, y 2

は、

x i \leq y j

を満たすならば適当な

z \in G

が存在して

x i \leq z \leq y j

とすることができる

を満足する。

二つの順序群 $G, H$ に対して、写像 $f : G \to H$ が順序群の準同型であるとは、 $f$ は抽象群の準同型であってかつ単調写像となっていることを言う。順序群の全体は、順序群の準同型を射として圏を成す。

順序群（特に順序加群）は体の賦値を定義するのに用いられる。

例[編集]

順序線型空間（英語版）は順序群である。
リース空間は束群である。
$Z n$ に成分ごとの和で群演算を入れたものに、順序を $(a_{1},\dotsc ,a_{n})\leq (b_{1},\dotsc ,b_{n}):\!\iff a_{i}\leq b_{i}\quad (\forall i=1,\dotsc ,n)$ で入れたもの（右辺は整数の通常の大小関係）は順序群の典型的な例である。
より一般に、順序群 $G$ と勝手な集合 $X$ に対し、 $X$ から $G$ への写像全体の成す空間 $G X$ は成分ごとの演算によりまた順序群になる。また、順序群 $G$ の任意の（単に群としての）部分群は $G$ の順序をそこへ制限した順序に関して順序群を成す。

注[編集]

注釈[編集]

^ 部分半群の定める順序を備えた群^[1]と混同してはならない

出典[編集]

^ ordered group - PlanetMath.（英語）

参考文献[編集]

外部リンク[編集]

[2] 部分半群の定める順序を備えた群^[1]と混同してはならない

[1] ordered group - PlanetMath.（英語）

[注釈 1]

[1]

順序群