頂点関数

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量子電磁力学における3点頂点関数の1ループ補正を表すファインマン・ダイアグラム。波線は光子、実線は電子を表す。

場の量子論において、頂点関数(ちょうてんかんすう、vertex function)とは、複数の粒子相互作用する過程を記述する相関関数である。量子電磁力学においては、電子のような荷電粒子仮想的な光子を吸収する(放出する)過程であり、3点頂点関数に対する1ループの頂点補正(ちょうてんほせい、vertex correction)は電子の異常磁気モーメントに支配的な寄与を及ぼす。

概要[編集]

頂点関数Γμ有効作用Γeff汎関数微分によって定義される。量子電磁力学における3点頂点関数は、電磁場との結合定数eを用いて

\Gamma^\mu (x,y,z)= -{1\over e}\frac{\delta^3 \Gamma_{\mathrm{eff}}(\bar{\psi},\psi,A_\mu)}{\delta \bar{\psi}(x) \delta \psi(y) \delta A_\mu(z)}

となる。

頂点関数Γμの中で最も支配的な寄与は、頂点因子に含まれるガンマ行列γμである。さらに、頂点関数には量子電磁力学が持つ対称性(ローレンツ対称性ゲージ対称性)が要請され、その形式はワード=高橋恒等式によって以下のように制限されている。

 \Gamma^\mu = \gamma^\mu F_1(q^2) + \frac{i \sigma^{\mu\nu} q_{\nu}}{2 m} F_2(q^2)

ここで、 \sigma^{\mu\nu} = (i/2) [\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}] \, であり、qνは外部から入射する光子の四元運動量である。係数F1(q2)とF2(q2)は形状因子(form factor)と呼ばれ、光子の運動量の2乗q2のみに依存する。ダイアグラムの最低次においては、F1(q2) = 1、F2(q2) = 0となり、このとき電子は内部構造を持たない点状粒子となっている。それ以上高次のF1(0)に対する補正は、繰り込みを用いて計算される。形状因子F2(0)は、電子の異常磁気モーメントaに対応しており、ランデのg因子を用いて以下のように表される。

 a = \frac{g-2}{2} = F_2(0)

計算例[編集]

量子電磁力学(QED)における3点頂点関数のファインマン・ダイアグラムの計算例を以下に示す。

各々の因子はファインマンルールの定義によって異なるが、ここではフェルミ粒子伝播関数 i/(p\!\!/ -m+i \epsilon) 、QEDの頂点因子-ie\gamma^\mu \,などを用いて、1ループの頂点補正を計算する。頂点関数Γμは裸の頂点因子γμに補正項δΓμを加えた形式で表される(頂点因子の係数-ieをつけて表せば、-ie\Gamma^\mu = -ie\gamma^\mu -ie\delta \Gamma^\mu \,)から、δΓμに対応するダイグラムを計算すればよい。入射するフェルミ粒子の運動量をp、外部から入射する光子の運動量をq、ループを作る仮想光子の運動量をkとすると、δΓμ

Vertex correction.svg =  \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} (-ie\gamma^\nu) \frac{i}{p\!\!/ - k\!\!\!/ -m+i \epsilon} (\gamma^\mu) \frac{i}{k\!\!\!/ +q\!\!\!/ -m+i \epsilon} (-ie\gamma^\rho) \frac{-ig_{\nu\rho}}{k^2+i \epsilon} \,

となる。上記のダイアグラムには便宜上、フェルミ粒子や光子の外線が引かれているが、頂点補正の計算に含まれるのは実線(フェルミ粒子)2本+波線(光子)から成るループ部分のみである。

参考文献[編集]

  • M.E. Peskin; D.V. Schroeder (1995). An Introduction To Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0201503975. 

関連項目[編集]