非線型制御

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非線型制御(ひせんけいせいぎょ、: Nonlinear control)は、制御工学において、とりわけ非線型または時変英語版のシステム、あるいは両者を扱う制御方式。

多くの確立した解析および設計技術が、線型時不変系(LTIシステム)に存在する。 (例えば根軌跡英語版ボード線図ナイキスト安定判別法英語版状態フィードバック極配置英語版。) しかしながら、一般的な制御システムにある制御器と制御対象の一方あるいは両方は、LTIシステムでない可能性がある。 したがって、これらの方法は必ずしも直接適用することができない。 非線型制御理論は、これらの一般的な制御システムに、既存の線型システムでの手法をどのように適用するかを研究する。 さらに、非線型制御理論は、LTIシステム理論を使用して解析することができない新しい制御方法を提供する。 LTIシステム理論を制御器の解析と設計に使用することができる場合であっても、非線型制御器が魅力的な特性となることがある。 (例えば、より単純な実装、より高速な動作、より少ない制御電力といった特性。)

非線型制御理論を証明するためには、厳密な解析学が必要となることが多い。

非線型システムの特性[編集]

非線型動的システムの特性は以下の通り。

非線型システムの解析と制御[編集]

十分に発達したいくつかの非線型フィードバックシステムの解析手法がある:

非線型システムのための制御設計技術も存在する。 この方法は、特定の限られた範囲を線型システムとして扱うことを試みる技術と細分化することができる:

システムを線型として扱い制御設計を行えるように、補助的な非線型フィードバックを導入することを試みる方法:

リャプノフに基づいた方法:

非線型フィードバック解析と Lur'e 問題[編集]

Lur'e 問題のブロック線図

初期の非線型フィードバックシステム解析問題はA.I.Lur'eによって公式化された。 Lur'e問題で取り扱われている制御システムは、線型で時間不変のフォワード経路と、メモリのない時変で静的非線型のフィードバック経路を有する。

線型部は4つの行列 (A,B,C,D) で表すことができ、一方、非線型部は次式で示すΦ(y)で表すことができる。

\frac{\Phi(y)}{y} \in [a,b],\quad a<b \quad \forall y (セクタ非線型)

絶対安定問題[編集]

次の条件について検討する:

  1. (A,B) は制御可能で、(C,A) は観測可能
  2. 関数Φのセクターを定義するための2つの実数 a,b について a<b

x=0がシステム全体で一様に漸近安定の平衡であるといった、伝達行列 H(s) および {a,b} のみを含む条件を引き出すことが問題である。 これはLur'e問題として知られている。

2つの主要な定理がこの問題に関係する:

これらは、絶対安定の十分条件を与える。

ポポフ条件[編集]

ポポフ(Popov)英語版によって研究されたLur'eシステムのサブクラスは次式によって表される:


\begin{matrix}
\dot{x}&=&Ax+bu \\
\dot{\xi}&=&u  \\
y&=&cx+d\xi \quad (1) 
\end{matrix}
 \begin{matrix} u = -\phi (y) \quad (2) \end{matrix}

ここで x ∈ Rn であり、 ξ,u,y はスカラー量、 A,b,c,d は同一の次元である。 Φ: R → R は、開セクタ(open sector) (0, ∞) に属する時不変な非線型要素である。 これは、次式であることを意味する。

Φ(0) = 0, y Φ(y) > 0, ∀ y ≠ 0;

uからyまでの伝達関数は次式で与えられる。

 H(s) = \frac{d}{s} + c(sI-A)^{-1}b \quad \quad

定理: 上記 (1)-(2) のシステムにおいて、次の条件を仮定する。

  1. A はフルビッツ行列
  2. (A,b) は制御可能
  3. (A,c) は観測可能
  4. d > 0
  5. Φ ∈ (0,∞)

次式に示すような値 r>0 が存在する場合、システムは全体的に漸近安定であると言える。

infω ∈ R Re[(1+jωr)h(jω)] > 0

補足:

  • ポポフ条件は自律システムにのみ適用可能である。
  • ポポフによって研究されたシステムは、原点で極を持っており、入力から出力まで直接の経路がない。
  • 非線型Φは開セクター条件を満たさなければならない。

非線型制御での理論[編集]

フロベニウスの定理[編集]

フロベニウスの定理英語版は微分幾何学中の深い結果(deep result)英語版である。 非線型制御に適用した場合、次のことが言える:

x \in R^n, f_1, \dots, f_k が分散 \Delta に属するベクトル場であり、u_i(t) が制御関数であるとき、式

 \dot x = \sum_{i=1}^k f_i(x) u_i(t) \,

で与えられたシステムにおいて、 スパン(\Delta = m) と\Delta対合(involutive)な分散ならば、 xの積分曲線が次元m の多様体に制限される』

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ a b 信州大 師玉教授. “非線形制御理論”. 2013年10月26日閲覧。
  2. ^ モノイスト. “独学! 機械設計者のための自動制御入門”. 2013年10月26日閲覧。
  3. ^ 東北大 岩熊教授. “1自由度系の非線形振動”. 2013年10月26日閲覧。
  4. ^ a b c 千葉大 劉教授. “ロバスト制御理論 講義ノート”. pp. 68-78. 2013年10月27日閲覧。
  5. ^ Navarro Lopez. “速度傾斜アルゴリズムによる非線形離散時間系の局部帰還不働化”. 2013年10月27日閲覧。

関連文献[編集]