非圧縮性流れ

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非圧縮性流れ(ひあっしゅくせいながれ)とは流体力学において、流体粒子の内部で密度が一定の流体である。縮まない流体とも呼ばれる[1][2]連続体力学における非圧縮性の概念を流体に適用したものである。

言い換えると、非圧縮性とは流体の速度の発散が 0 になることである(この表現が等価である理由は後述)。

非圧縮性流れは、流体自体が非圧縮性であることを意味するものではない。圧縮性流体でも(適切な条件の下で)良い近似で非圧縮性流れとしてモデル化できる。非圧縮性流れは流体と同じ速度で移動する流体粒子の中で密度が一定であることを意味する。

非圧縮性流れに対して、密度が変化する流れを圧縮性流れという。厳密な意味での非圧縮性流れは自然界には存在しないが、一般的に流れのマッハ数(局所音速と流速との比)が小さい流れに対しては圧縮性の影響は無視できる。マッハ数が0.3を超えるか、または流体が非常に大きな圧力変化を受ける場合に、圧縮性の影響は考慮される。

速度の発散が 0 になることの導出[編集]

非圧縮性流れのための基本的な要件は、密度ρが、速度v で移動する流体の微小体積dV 内で一定であることである。数学的にはこの非圧縮性流れの条件は、密度の物質微分(後述)が 0 にならなければならないことを意味する。この条件を導入する前に、質量保存則から必要な関係式を導く。ある領域(コントロールボリューム)V の中にある流体の質量m は、密度ρの体積積分によって計算される。

 m = \iiint_V \rho \,dV

質量保存則より、コントロールボリュームV 内の質量の時間変化はその境界面S を通る質量流束J に等しくなければならない。この質量流速は数学的には面積分で表される。

 \frac{\partial m}{\partial t} = - \iint_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S}

ここで負号は、面積ベクトルdS を外向きに定義していることより、コントロールボリュームから出る流れによってボリューム内の質量は時間的に減少することを意味する。この式の右辺に発散定理を用い、質量流束と密度の時間変化の間の関係が導かれる。

 \begin{align}
& \iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t} \,dV =  - \iiint_V \operatorname{div}\boldsymbol{J} \,dV \\
&\therefore\quad
\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \operatorname{div}\boldsymbol{J}
\end{align}

左辺の密度の時間微分は非圧縮性流れを保証するためには 0 になる必要はない。この場合の密度の時間微分とは、固定位置の コントロールボリューム内でのこの変化率のことを言っている。密度の時間微分が 0 にならないことを許しても、非圧縮性流体は制限されない。なぜなら固定位置のコントロールボリュームを観察していれば、流れによってそこの密度は変化する ことが許されているからである。このアプローチは一般的に言え、密度の時間微分が 0 になってもよいことは、圧縮性流体が依然として非圧縮性流れになりうることを示している。

我々が興味を持っていることは、流体速度v とともに移動するコントロールボリュームの密度の変化である。流束J は、次の式で流体速度v と関連している:

 \boldsymbol{J} = \rho \boldsymbol{v}

したがって質量保存則は

 \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho \boldsymbol{v} )
\equiv \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad}\rho \cdot \boldsymbol{v} + \rho(\operatorname{div}\boldsymbol{v} )
= 0

と表される。この式は連続の式と呼ばれている。密度の全微分を考える(そして連鎖律を適用する)ことにより、

 \frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial \rho}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial \rho}{\partial z}\frac{dz}{dt}

であるから、流体と同じ速度で動いている(すなわちv = (dx /dt , dy /dt , dz /dt ) となる)コントロールボリュームをとれば、上式は物質微分

 \frac{D \rho}{Dt} := \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{grad}\rho \cdot \boldsymbol{v}

を用いて簡潔に表される。連続の式に代入すれば、

 \frac{D \rho}{Dt} = - \rho (\operatorname{div}\boldsymbol{v} )

を得る。密度の時間微分は、流体が圧縮または膨張(一定体積dV に含まれる質量が変化)することを示しているが、それは禁止されている。密度の物質微分が 0 になることを要求することは、(密度が 0 でなければ)流体速度の発散が 0 でなければならないことと等価である。

\operatorname{div}\boldsymbol{v} = 0

結局、質量保存則と、流体とともに移動する体積内の密度が一定であるという制約条件から、それに等価な非圧縮性流れの必要条件は流体速度の発散が 0 になることであることが示された。

圧縮率との関係[編集]

いくつかの分野では、流れの非圧縮性の尺度には、圧力変化による密度の変化がとられる。これは圧縮率βという用語で表現される。

\beta := \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dp}

圧縮率が十分小さければ、流れは非圧縮性であるとされる。圧縮率が 0 であることを非圧縮性流体の定義とすることもある[1]

ソレノイド場との関係[編集]

非圧縮性流れはソレノイド(solenoidal)な速度場によって記述される。しかし、ソレノイド場は発散が 0 である以外に、0 でない回転を有する意味合いを持っている。

あるいは、非圧縮性流れの回転が 0 、つまり非回転なら、速度場は実際にはラプラス場英語版である。

非圧縮性流れと非圧縮性物質の違い[編集]

前述した定義のように、非圧縮流れでは

\operatorname{div}\boldsymbol{v} = 0

である。これは

 \frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \operatorname{grad}\rho = 0

と等価である。つまり、密度の物質微分が 0 ということである。したがって、物質要素を追いかけるとき、その密度は一定に保たれる。物質微分が 2 つの項を持つことに注意せよ。

  1. 最初の項 ∂ρ/∂t は時間と共にどのように物質要素の密度が変化するかを意味する。この項は非定常項ともいわれる。
  2. 第二項 v ・gradρ は物質要素がある点から別の点に移動することによる、密度の変化を意味する。これは対流項または移流項と呼ばれる。

流れが非圧縮性であるためには、これらの項の和が 0 でなければならない。

一方、均質、非圧縮性の物質は​​全領域で一定の密度を持つものとして定義される。そのような物質では密度ρ = constant である。これは

\frac{\partial \rho}{\partial t} = 0, \quad
 \operatorname{grad}\rho = 0

の2式が同時に、かつ独立に成り立つことを意味する。連続の式に代入すると、

\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \operatorname{grad}\rho = 0

よって

\operatorname{div}\boldsymbol{v} = -\frac{1}{\rho}\frac{D\rho}{Dt} = 0

が従う。したがって、均質な物質は常に非圧縮性流れとなる。しかし、逆は成り立たない。

通常、文献などでは、非圧縮性流れではその密度が一定であると仮定している。これは技術的には不正確であるが、慣例としてなされる。非圧縮性流れの仮定の上で非圧縮性物質の仮定を使用することの利点の一つは、運動方程式で動粘度νが一定であると仮定することができることである。上記の厳密さはよく混乱の元となる。したがって、力学について記述されているとき、多くの場合は非圧縮性物質または一定容積の流れと明示的に言うことが好まれる。

関連する流れ[編集]

流体力学では、速度の発散が 0 であれば、流れは非圧縮性であるとされる。しかし、モデル化される流れ場に応じて、ときとして関連する表式が使用される。

  1. 非圧縮性流れ:divv = 0
    これは、密度が一定(厳密な非圧縮)か、または密度が変化する流れで仮定できる。密度変化のセットでは密度、圧力または温度場に、小さな摂動を含む解が受容され、領域内の圧力成層に対して可能である。
  2. 非弾性流れ:div(ρov ) = 0
    主に大気科学の 分野で用いられる。非弾性条件によって、圧力と同様に密度または温度に、成層の非圧縮性流れの妥当性が拡張される。気象学の分野で使用された場合、これに よって熱力学変数は下層大気で見られる大気基底状態に緩和することができる。この条件はまた、天体物理学においても使用される[3]
  3. マッハ数流れ/疑似非圧縮:div(αv ) = β
    低マッハ数の制約は次元解析による無次元量を用いた圧縮性オイラー方程式から導出される。この制約は、この前のセクションのように、音波の 除去を可能にするだけでなく、密度や温度の大きな摂動を許す。この仮定は、流れが有効であるためにそのような制約を使用して、任意の解に対してマッハ数が その上限(通常は0.3未満)以内にとどまるということである。繰り返しになるが、すべての非圧縮性流れに従って、圧力偏差は圧力基底状態と比較して小さ くなければならない[4]

これらは流れについての異なる仮定であるが、すべての仮定は流れに依存する関数α、βを用いて、一般形

\operatorname{div}(\alpha \boldsymbol{v} ) = \beta

で考慮することができる。

非圧縮性流れの数値的近似解法[編集]

非圧縮性流れの方程式の厳密な性質は、特定の数学的手法がそれらを解決するために考案されてきたことを意味する。次のような方法がある:

  1. 投影法英語版(近似および厳密な方法)
  2. 人工圧縮性(近似法)
  3. 圧縮性プレコンディショニング

脚注[編集]

  1. ^ a b 巽友正 『流体力学』 培風館、1982年、41頁。ISBN 4-563-02421-X 
  2. ^ 今井功 『流体力学(前編)』 (24版) 裳華房、1997年、14頁。ISBN 4-7853-2314-0 
  3. ^ Durran, D.R. (1989). “Improving the Anelastic Approximation”. Journal of the Atmospheric Sciences 46 (11): 1453–1461. Bibcode 1989JAtS...46.1453D. doi:10.1175/1520-0469(1989)046<1453:ITAA>2.0.CO;2. ISSN 1520-0469. http://ams.allenpress.com/archive/1520-0469/46/11/pdf/i1520-0469-46-11-1453.pdf.  [リンク切れ]
  4. ^ Almgren, A.S.; Bell, J.B.; Rendleman, C.A.; Zingale, M. (2006). “Low Mach Number Modeling of Type Ia Supernovae. I. Hydrodynamics”. Astrophysical Journal 637 (2): 922–936. arXiv:astro-ph/0509892. Bibcode 2006ApJ...637..922A. doi:10.1086/498426. http://seesar.lbl.gov/ccse/Publications/car/LowMachSNIa.pdf.