閉路グラフ

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長さ6の閉路グラフ

閉路グラフ(へいろグラフ、: cycle graph)は、グラフ理論において1つの閉路(正確には閉道)から成るグラフをいう。言い換えれば、いくつかの辺が相互に連なって1つの輪を形成しているグラフである。n個の辺による閉路グラフを Cn と表記する。Cn においては、辺と頂点の数は等しく、各頂点の次数は常に2である。つまり、各頂点は常に2つの辺と接合している。

用語について[編集]

「閉路グラフ」にはいくつか類義語がある。単純閉路グラフ (simple cycle graph) や環状グラフ (cyclic graph) といった用語があるが、後者は単に非環状でないグラフ全般(閉路を含むグラフ)を指すこともあるため、あまり使われない。多角形n角形という呼び方をする場合もある。頂点が偶数個の閉路を偶閉路 (even cycle)、頂点が奇数個の閉路を奇閉路 (odd cycle) と呼ぶ。

性質[編集]

閉路グラフには、以下の性質がある。

さらに

  • 閉路グラフは正多角形として描画できるため、n-閉路の対称性は、オーダー 2n二面体群である n 辺の正多角形の対称性と同じである。特に、任意の2つの頂点間にも任意の2つの辺間にも対称性があるため、n-閉路は対称グラフである。

有向閉路グラフ[編集]

長さ8の有向閉路グラフ

有向閉路グラフ (directed cycle graph) は辺に向きのある閉路グラフであり、全ての辺は同じ向きになっている。

有向グラフにおいて、それぞれの有向閉路から少なくとも1つの辺(枝)を含んでいる枝集合を帰還枝集合 (feedback arc set) と呼ぶ。同様に、それぞれの有向閉路から少なくとも1つの頂点を含んでいる頂点集合を帰還頂点集合 (feedback vertex set) と呼ぶ。

有向閉路グラフの各頂点は常に入次数が1で、出次数が1である。

有向閉路グラフは、巡回群におけるケイリーグラフである(外部リンクの Trevisan 参照)。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]