重調和方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

数学における重調和方程式: biharmonic equation)とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である:

\nabla^4\varphi=\nabla^2\nabla^2\varphi=\Delta^2\varphi=0.

ここで 4 は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。

例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。


{\partial^4 \varphi\over \partial x^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial y^4 } +
{\partial^4 \varphi\over \partial z^4 }+ 
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial y^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial y^2\partial z^2}+
2{\partial^4 \varphi\over \partial x^2\partial z^2} = 0.

重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。

重調和方程式は連続体力学の分野(線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など)において現れる。

2次元空間[編集]

2次元の場合の一般解は


x v(x,y) - y u(x,y) + w(x,y)

ここで u(x,y),v(x,y), w(x,y)調和関数v(x,y)u(x,y) の調和共役である。

2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける:


\operatorname{Im}(\bar{z}f(z) + g(z))

ここで f(z)g(z)解析関数である。

2次元の極座標系では、重調和方程式は


\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right)\right)\right)
 + \frac{2}{r^2} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r^2}
 + \frac{1}{r^4} \frac{\partial^4 \varphi}{\partial \theta^4}
 - \frac{2}{r^3} \frac{\partial^3 \varphi}{\partial \theta^2 \partial r}
 + \frac{4}{r^4} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial \theta^2} = 0

となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はミッシェル解英語版と呼ばれる。

[編集]

n 次元ユークリッド空間において、

\nabla^4 \left({1\over r}\right)= {3(15-8n+n^2)\over r^5}

ただし

r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}

は、n = 3, 5 のときのみ、重調和方程式となる。

参考文献[編集]

  • Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, ISBN 1-58488-347-2 .
  • Hayek, S.I. (2000), Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0466-5 .
  • Den Hartog, J. P. (July 1st, 1987). Advanced Strength of Materials. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9. .

関連項目[編集]

外部リンク[編集]