重力インスタントン

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重力インスタントン(じゅうりょく - )とは、以下の3つの性質を持つ4次元リーマン多様体のことである。

  1. リッチ平坦
  2. 自己双対(self-dual)なリーマン曲率テンソルをもつ
  3. 無限遠で局所的に平坦(asymptotically locally flat)である

(しかし実は、2. ならば 1. が言える。)

あるいは、もっと広い意味で、3. を満たしリッチ曲率計量に比例している(いわゆる宇宙定数がある)ものを言う。

ヤン・ミルズ理論のインスタントンとの類似から、そう呼ばれる。ALE(Asymptotically Locally Euclidean)空間とも呼ばれる。

性質[編集]

(4次元)重力インスタントンは次の3つの言い方ができる。

  1. リーマンの曲率テンソルが自己双対
  2. リッチ平坦かつケーラー多様体(= カラビ・ヤウ多様体
  3. 超ケーラー多様体英語版

高次元にいくと、これら3つはすべて異なる条件になる。

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重力インスタントンは3次元球面の左不変な1-形式をσi (i = 1, 2, 3) を用いて書くのが便利であり、それらはオイラー角を用いて、

\begin{align}
\sigma_1 &= \sin\psi d\theta-\cos\psi\sin\theta d\phi, \\
\sigma_2 &= \cos\psi d\theta+\sin\psi\sin\theta d\phi, \\
\sigma_3 &= d\psi +\cos\theta d\phi
\end{align}

のように表される。

ユークリッド化されたターブ・ナット(Euclidean Taub-NUT)計量[編集]

ユークリッド化されたターブ・ナット計量英語版

ds^2 = \frac{1}{4}\frac{r+n}{r-n}dr^2+\frac{r-n}{r+n}n^2\sigma_3^2+\frac{1}{4}(r^2-n^2)(\sigma_1^2+\sigma_2^2)

によって与えられる。

江口・ハンソン(Eguchi-Hanson)計量[編集]

江口・ハンソン計量英語版

ds^2 = \left(1-\frac{a}{r^4}\right)^{-1}dr^2+\frac{r^2}{4}\left(1-\frac{a}{r^4}\right)\sigma_3^2+\frac{r^2}{4}(\sigma_1^2+\sigma_2^2)

のように表現される。ここで、座標の範囲は ra1/4 である。

この計量がいたるところ滑らか、つまりregularな計量であるためには、ra1/4, θ= 0, π のところで錐特異点(conical singularity)がないことである。この条件はパラメーター a がゼロかそうでないかで場合分けされ、

  • a = 0 のとき座標 ψ の周期が 4π
  • a ≠ 0 のときは座標 ψ の周期が 2π

とならなければならない。

別の座標系を用いて、

 ds^2 = \frac{1}{V(\mathbf{x})} ( d \psi + \boldsymbol{\omega} \cdot d \mathbf{x})^2 + V(\mathbf{x}) d \mathbf{x} \cdot d \mathbf{x}

と表現されることもある。ここで、

 \nabla V = \pm \nabla \times \boldsymbol{\omega}, 
\quad V = \sum_{i=1}^2 \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}_i| }

である。

ギボンズ・ホーキング(Gibbons-Hawking)計量[編集]

ギボンズ・ホーキング計量英語版[1]

出典[編集]

  1. ^ Gibbons, G. W.; Hawking, S. W., Gravitational Multi-instantons. Phys. Lett. B 78 (1978), no. 4, 430–432; see also Classification of gravitational instanton symmetries. Comm. Math. Phys. 66 (1979), no. 3, 291–310.

参考文献[編集]

  • Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J., Asymptotically flat selfdual solutions to Euclidean gravity. Phys. Lett. B 74 (1978), no. 3, 249–251; see also Self-dual solutions to Euclidean Gravity. Ann. Physics 120 (1979), no. 1, 82–106 and Gravitational instantons. Gen. Relativity Gravitation 11 (1979), no. 5, 315–320.