遷移行列

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遷移行列T行列)は散乱理論において遷移振幅を与える行列である。

遷移行列は散乱振幅と深いつながりがある。

定義[編集]

散乱理論ではしばしば、シュレディンガー方程式を以下のリップマン-シュウィンガー方程式に書き換えて問題を解く。

 | \psi^{\pm} \rangle = | \phi  \rangle +\hat{G^\pm_0} \hat{V} |\psi^{\pm} \rangle \,

ここで| \phi  \rangleは入射状態、|\psi^{\pm} \rangle \ は散乱状態(+は外向き、-は内向きを表す)、\hat{V}は散乱体との相互作用を表す演算子、\hat{G^\pm_0}は相互作用が無い状態のグリーン演算子である。

遷移演算子\hat{T}は、次のように入射状態| \phi  \rangleと散乱状態|\psi^{\pm} \rangle \ を結びつける演算子 \hat{T}として定義される。

 \hat{T} | \phi \rangle = \hat{V} | \psi^{\pm} \rangle

よって遷移演算子を用いるとリップマン-シュウィンガー方程式は以下のように書き換えられる。

 | \psi^{\pm} \rangle = | \phi  \rangle +\hat{G^\pm_0} \hat{T} |\phi \rangle \,

つまりリップマン-シュウィンガー方程式を解く代わりに遷移演算子\hat{T}を求めることで散乱状態が求められることになる。

遷移演算子を、相互作用領域への入射状態| \phi \rangleと散乱状態| \psi^{\pm} \rangleを用いて行列表示したものを遷移行列T \ という。 よって行列要素\langle \psi^{\pm} | \hat{T} | \phi \rangleとなる。

性質[編集]

リップマン-シュウィンガー方程式と遷移演算子の定義より以下の関係が得られる。

\hat{T} = \hat{V} + \hat{V}\hat{G^\pm_0}\hat{T}

これは以下のように表すこともできる。

\hat{T} = \hat{V} + \hat{V}\hat{G^\pm_0}\hat{V} + \hat{V}\hat{G^\pm_0}\hat{V}\hat{G^\pm_0}\hat{V} + \cdots

このような遷移演算子についての級数を、途中で打ち切ることをボルン近似という。たとえば1次のボルン近似では\hat{T} = \hat{V}と近似する。

参考文献[編集]

関連項目[編集]