超階乗
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Clifford Pickover による、自然数 n の超階乗（ちょうかいじょう, superfactorial）の表記法 n $ は、階乗を入れ子に拡張して
のように定義される。簡単に言えば、n! の n! 乗を n! 回入れ子にする演算である。上記の式で2つ目及び3つ目の等号は、タワー表記による表記の場合である。
- 例
![\begin{align}
1\$ &={}^{1!}1! ={}^{1}1 = 1,\\
2\$ &={}^{2!}2! ={}^{2}2 = 2^2\!\!,\\[-9pt]
3\$ &={}^{3!}3! ={}^{6}6 = 6^{6^{6^{6^{6^6}}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!,\\[-54pt]
4\$ &={}^{4!}4! ={}^{24}24 = 24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!.
\end{align}](//upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/math/a/0/f/a0f5d5bd038fd541e33bad70307ba259.png)
![\begin{align}
1\$ &={}^{1!}1! ={}^{1}1 = 1,\\
2\$ &={}^{2!}2! ={}^{2}2 = 2^2\!\!,\\[-9pt]
3\$ &={}^{3!}3! ={}^{6}6 = 6^{6^{6^{6^{6^6}}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!,\\[-54pt]
4\$ &={}^{4!}4! ={}^{24}24 = 24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24^{24}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!.
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[編集] 0$、1$、2$
超階乗は通常は巨大な数になるが、0、1、2の超階乗はそれぞれ0$=1$=1、2$=4と小さな値にしかならない。
[編集] 3$ の下4桁
3$ は、巨大な数とはいえ、その構造は驚くほど単純である。すなわち、幾つかの「6」の掛け合わせに過ぎない。「6」を順次掛けていって、下4桁の数の出現の様子を精査すると、最初から数えて4番目の数から125個の数が循環[1]して現れる。この性質に着目すると、3$ そのものを計算することは困難であるが、その下4桁の数が「8656」であることは直ぐに分かる。
[編集] 5$ の下位桁の数
非常に巨大な数であるが、120n = 12n × 10nで示せるため、下位48％あまりの桁が0となる自然数である。
[編集] 注
- ^ 一般に任意の整数の下4桁を考えることは、その整数を群 (Z/10000Z)× の元に落として考えるのと等価で、この群の位数は φ(10000) = 10000(1 − 1⁄2)(1 − 1⁄5) = 4000 だから、各整数の下4桁に注目したときの循環節の長さは 4000 の約数だが、φ(16) = 8, φ(625) = 500 なので、殆どの整数で循環節の長さは 4000 よりもずっと少ない。
