行列多項式

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数学の分野において、行列多項式(ぎょうれつたこうしき、: matrix polynomial)とは、行列を変数とする多項式のことを言う。以下に例を挙げる:

P(A) = \sum_{i=0}^n{ a_i A^i} =a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_n A^n.
ここで、P
P(x) = \sum_{i=0}^n{ a_i x^i} =a_0  + a_1 x+ a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n
で与えられる多項式であり、I単位行列である。
AB交換子
\left[A,B\right] = A B - B A,
も、行列多項式である。

行列多項方程式(matrix polynomial equation)とは、ある特定の行列に対して、二つの行列多項式の間に等号が成立するような方程式のことを言う。ある体上の行列 A に対し、P(A) = Q(A) であるなら、A固有値特性方程式 P(\lambda) = Q(\lambda) を満たす。行列多項恒等式(matrix polynomial identity)とは、ある特定の行列環英語版 Mn(R) 内のすべての行列 A に対して成立するような行列多項方程式のことを言う。