線型近似

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一般の関数(緑線)を一次関数(赤線)であると近似する.

数学における線型近似とは、一般の関数一次関数を用いて(より正確に言えばアフィン写像を用いて)近似することである。

例えば、微分可能な一変数関数fは、テイラーの定理のn=1の場合により、

 f(x) = f(a) + f\ '(a)(x - a) + R_2

と表せる。R2は剰余項である。線型近似は剰余項を落とした

 f(x) \approx f(a) + f\ '(a)(x - a)

となる。この近似はxがaに十分近い場合に成り立つ。この式の右辺はちょうど元のfのグラフの(a, f(a))における接線の表式となっており、そのことから、接線近似とも呼ばれる。

線型近似は多変数関数に用いることもでき、この場合は導関数の代わりに関数行列が用いられる。例えば、微分可能な実関数f(x, y)は、(a, b)に十分近い(x, y)においては次のように近似できる。

f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+\frac{\partial f}{\partial x}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+\frac{\partial f}{\partial y}\left(a,b\right)\left(y-b\right).

右辺はz=f(x, y)のグラフの(a, b)における接平面の表式となっている。

さらに一般に、バナッハ空間においては

 f(x) \approx f(a) + Df(a)(x - a)

と表される。ここでDf(a)はfのaにおけるフレシェ微分である。

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線型近似を用いて\sqrt[3]{25}の近似値を求めてみよう。

  1.  f(x)= x^{1/3}.\,という関数を考える。この関数についてf(25)を求めればよい。
  2. 微分すると f\ '(x)= 1/3x^{-2/3}.である。
  3. 線型近似により f(25) \approx f(27) + f\ '(27)(25 - 27) = 3 - 2/27.となる。
  4. 小数に直すとおよそ2.926であるが、これは確かに真の値2.924…に近い。