線型代数学の基本定理

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数学の分野における線型代数学の基本定理(せんけいだいすうがくのきほんていり、: fundamental theorem of linear algebra)とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A階数 r や、その特異値分解

A=U\Sigma V^T\

に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 A \in \mathbf{R}^{m \times n}(行列  A m 個の行と n 個の列を持つ)は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す:

部分空間の名前 定義 含まれる空間 次元 基底
列空間値域あるいは \mathrm{im}(A) あるいは \mathrm{range} (A) \mathbf{R}^m r階数 U の初めの r
零空間あるいは \mathrm{ker}(A) あるいは \mathrm{null} (A) \mathbf{R}^n n - r(退化次数) V の最後の (n - r)
行空間あるいは余像 \mathrm{im}(A^T) あるいは \mathrm{range} (A^T) \mathbf{R}^n r階数 V の初めの r
左零空間あるいは余核 \mathrm{ker}(A^T) あるいは \mathrm{null} (A^T) \mathbf{R}^m m - r(余階数) U の最後の (m - r)

続いて、次が成立する:

  1. \mathbf{R}^n において、\mathrm{ker}(A) = (\mathrm{im}(A^T))^\perp である。すなわち零空間は、行空間の直交補空間である。
  2. \mathbf{R}^m において、\mathrm{ker}(A^T) = (\mathrm{im}(A))^\perp である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。
行列 A に関する四つの部分空間

各部分空間の次元は階数・退化次数の定理によって関連付けられており、上表の定理に従う。

また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および双対空間として、A\colon V \to W および A^* \colon W^* \to V^* を用いて次のように言い直すことが出来る:A^* の核および像は、A の余核および余像に、それぞれ等しい。

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参考文献[編集]

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