現在価値

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現在価値(げんざいかち)とは、発生の時期を異にする貨幣価値を比較可能にするために、金融用語では将来の価値を一定の割引率(discount rate)を使って現在時点まで割り戻した価値である。

例えば、割引率が年5パーセントのとき、1年後の1万円は、現在の 10000/1.05 = 9524 円に値する。これを「1年後の1万円の現在価値は9524円である」という。2年後の1万円の現在価値は、10000/1.052 = 9070 円である。一般に年割引率がi であるとき、t 年後のR 円の現在価値は、R /(1+i ) t によって与えられる。このときの 1/(1+i ) t割引因子英語版という。

1年後にR1 円、2年後にR2 円、… 、T 年後にRT 円が生じるという貨幣価値の時間流列の現在価値は、

\frac{R_1}{1+i} + \frac{R_2}{(1+i)^2} + \cdots + \frac{R_T}{(1+i)^T}
=\sum_{t=1}^{T}\frac{R_t}{(1+i)^t}

となる。以上は、現在のP 円が年利i の1年複利でt 年後にP (1+i ) t 円に増殖することに対応している。もしも半年複利なら、これはt 年後にP (1+i /2) 2t に増殖する。4ヶ月複利なら、t 年後にはP (1+i /3) 3t に増える。一般に、1/n 年複利なら、t 年後の価値はP (1+i /n ) n t となり、n を限りなく大きくしていくと、

\lim_{n\rightarrow\infin} P\left(1+\frac{i}{n}\right)^{nt} 
= P\left[\lim_{n\rightarrow\infin} \left(1+\frac{i}{n}\right)^{n/i}\right]^{it} 
= Pe^{it}

となる。したがって、時間を離散的でなく連続的にとり、単位時間当たりの割引率をi とすると、時点t における価値P の現在価値は、P e-i t と書ける。

関連事項[編集]