玄妙基数

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超限数を扱う数学において、玄妙基数(げんみょうきすう)は巨大基数の一種でJensen & Kunen (1969)によって導入された。

基数 \kappaほとんど玄妙であるとは、 全ての順序数\delta < \kappaに対してf(\delta)\deltaの部分集合となるような 全ての関数 f: \kappa \to \mathcal{P}(\kappa) (ここで \mathcal{P} (\kappa)\kappa冪集合)に対して、 \kappaのある濃度 \kappa の部分集合 Sが存在して、 fに対してhomogeneous( すなわち、Sの要素である全ての \delta_1 < \delta_2 に対して、 f(\delta_1) = f(\delta_2) \cap \delta_1 )となること。


基数 \kappa玄妙であるとは、全ての2値関数 f : \mathcal{P}_{=2}(\kappa) \to \{0,1\} に対し fに対してhomogeneousとなる\kappa定常集合があること。: すなわち、f がその定常集合の要素である非順序対を全て0に送るか、全て1に送ること。

もっと一般的に \kappan-玄妙(ただしn は正の整数) とは、全ての関数 f : \mathcal{P}_{=n}(\kappa) \to \{0,1\} に対して f に対してn-homogeneous となる\kappa の定常集合が存在する (すなわち、その定常集合の要素であるn-非順序対を全て同じ値に送る)こと。 すなわち、玄妙は2-玄妙と同じ意味である。

完全玄妙基数とは、2 \leq n < \aleph_0となる全ての n に対してn-玄妙となる基数のこと。 \kappa(n+1)-玄妙であれば\kappa以下のn-玄妙基数の集合 は \kappa の定常部分集合となる。

完全玄妙基数は精妙基数(subtle cardinal)より強い無矛盾性を持ち、 remarkable cardinalより弱い無矛盾性を持つ。 巨大基数公理の無矛盾性の強さの表は ここ にまとめられている。

参照[編集]