淡中圏

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淡中圏(たんなかけん、tannakian category)とは与えられたKに関係するある付加的な構造を備えた、ある種のモノイダルCである。そのような圏Cの役割は、K上定義された代数群Gの線形表現の圏をおおよそ見積もることにある。 この理論の多数の応用が今までになされてきた。

名前の由来はコンパクト群Gとそれらの表現に関する淡中-Krein双対性Tannaka–Krein duality)である。 この理論ははじめアレクサンドル・グロタンディークのセミナーで発展し、その後 ドリーニュによって再考され幾分簡易化された。理論は副有限群あるいはコンパクト群Gの有限組み合わせ的な表現に関する理論であるグロタンディークのガロア理論に似ている。

より詳しくはSaavedra Rivanoの論評にあるが、 理論の要点はガロア理論ファイバー関手\PhiCから K_{Vect}へのテンソル関手Tに置き換えることにある。 \Phiからそれ自身への自然変換がなす群、すなわちガロア理論における副有限群はTからそれ自身へのテンソル構造を保つ自然変換のなす(単にモノイドとする場合もある)に置き換える。これは代数群ではないが、代数群の逆極限(すなわち副代数群)である。

応用[編集]

群の表現論の立場からホッジ構造あるいはl進表現が考えられる場合にこの構成が使われる。 たとえばマンフォード・テイト群あるいはモチヴィックガロア群は1-コホモロジー群あるいはガロア加群が生成する淡中圏を考えることにより、構成することができる。

これら応用の範囲はモチーフの理論と密接に関係している。淡中圏が用いられる別の例ではグロタンディーク-カッツ-p曲率予想、あるいはモノドロミー群と関連づいている。

形式的な定義[編集]

ニュートラル淡中圏とはK-ベクトル空間の圏への忠実充満なK-テンソル関手を備えた リジッド-アーベル-テンソル圏である。

参考文献[編集]

  • N. Saavedra Rivano, Catégories Tannakiennes, Springer LNM 265, 1972
  • Pierre Deligne and J. S. Milne, Tannakian categories, in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties by Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shih, Lecture Notes in Math. 900, Springer-Verlag, 1982, 414pp.
  • Pierre Deligne, Catégories tannakiennes. In The Grothendieck Festschrift, Volume 2, 111--195. Birkhauser, 1990.

関連項目[編集]

外部リンク[編集]