最大絶対値の原理

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最大絶対値の原理(英語:Maximum modulus principle)は、複素解析における正則関数の性質に関する基本的な定理である。複素関数が正則であるために満たすべき、強い制約条件の1つを示している。

定理[編集]

複素関数 f (z) が領域 D正則で、しかも定数でないなら、 D の内部で |f (z) | が最大値を取ることはない。

証明[編集]

背理法による。 D 内のある点 z0 で |f (z) | が最大値を取るものと仮定する。 r を正の実数とし、 Dr = {z : | z - z0 | < r } 、 Cr = {z : | z - z0 | = r } とする。つまり Crz0 を中心とする半径 r の円、Dr はその内側の領域である。r の値を適当に小さく選べば、 Dr + CrD とできる。

コーシーの積分公式により Dr 内の任意の点 z で、

f(z)=\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}d \zeta

が成立つ。 Cr 上での |f (z) | の最大値を M とすれば、


\left|f(z_0)\right|
= \left|\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C_r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)}d\zeta\right|

\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{\left|f(\zeta)\right|}{r}\,r d\theta
= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(\zeta)\right| d\theta
\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} M d\theta = M

仮定により M ≤ |f (z0) | であるから、結局


\left|f(z_0)\right| 
= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f(\zeta)\right| d\theta
= M

が成立つ。すなわち、 Cr 上の任意の点 ζ で |f (z0) | = |f (ζ) | が成立つことになる。 r を任意に小さくして考えても、同じ論法が成立つので、 Dr + Cr の任意の点 z で |f (z0) | = |f (z) | が成立つことになる。 |f (z0) | = 0 であれば、 f (z) は Dr で恒等的に 0 である。 |f (z0) | が 0 でなければ Dr 内の任意の点で |f (z) | も 0 でないから


h(z) = log \ f(z) = log \ |f(z)| + i \ arg \ f(z)

を考えることができる。 Dr に含まれるある領域 V を適当に選ぶと、V 内で h (z) を一価正則にできる。

V 内で |f (z) | は定数であるから h (z) の実部 log |f (z) | も定数である。 このためコーシー・リーマンの関係式から V 内で

\frac{dh(z)}{dz} = 0

となり、h (z) の虚部 i arg f (z) も V 内で定数となる。従って V 内で f (z) は定数である。一致の定理によって、結局 D 全体で f (z) は定数となり、定理の仮定に反する。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • 遠木幸成・阪井章『関数論』学術図書出版社、1966年