時不変系

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時不変系(じふへんけい、英語: time-invariant system)は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号 x によって出力 y が生成されるとき、時間をシフトさせた入力 t \mapsto x(t + \delta) では出力も t \mapsto y(t + \delta) となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。

形式的には、S をシフト作用素としたとき(S_\delta x(t) = x(t-\delta))、次が成り立つ T を時不変作用素と呼ぶ。

T(S_\delta x) = S_\delta (T x)

この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。

系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。

単純な例[編集]

系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。

  • 系 A: y(t) = t\cdot x(t)
  • 系 B: y(t) = 10\cdot x(t)

系 A は x(t)y(t) 以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。

形式的な例[編集]

次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義(系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である)を利用する。

系 A:

遅延のある入力 x_d(t) = \,\!x(t + \delta) を与えると、次のようになる。
y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)
ここで出力を \delta のぶんだけ遅延させる。
y(t) = t\, x(t)
y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)
y_1(t) \,\!\ne y_2(t) であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。

系 B:

遅延のある入力 x_d(t) = \,\!x(t + \delta) を与えると、次のようになる。
y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)
ここで出力を \delta のぶんだけ遅延させる。
y(t) = 10 \, x(t)
y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)
y_1(t) = \,\!y_2(t) であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。

抽象的な例[編集]

シフト作用素を \mathbb{T}_r と表す。ここで、r はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系

x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)

は、ここでの抽象的記法では次のようになる。

\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}

ここで、\tilde{x} は次の式で与えられる関数である。

\forall t \in \mathbb{R}\ \tilde{x} = x(t)

シフトされた出力となる系は次のようになる。

\forall t \in \mathbb{R}\ \tilde{x}_1 = x(t + 1)

従って \mathbb{T}_1 は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。

ここで、系を作用素 \mathbb{H} で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、

\forall r\ \mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r

系の方程式が次のようであるとする。

\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}

この系が時不変であるとは、系の作用素 \mathbb{H}\tilde{x} に適用してからシフト作用素 \mathbb{T}_r を適用した場合と、シフト作用素 \mathbb{T}_r を適用してから系の作用素 \mathbb{H} を適用した場合で、結果が等価となる場合である。

系の作用素を先に適用すると、次のようになる。

\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r

シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。

\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r

従って、系が時不変なら次が成り立つ。

\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r

関連項目[編集]