時不変系

時不変系（じふへんけい、英語: time-invariant system）は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号 $x$ によって出力 $y$ が生成されるとき、時間をシフトさせた入力 $t \mapsto x(t + \delta)$ では出力も $t \mapsto y(t + \delta)$ となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。

形式的には、$S$ をシフト作用素としたとき（$S_\delta x(t) = x(t-\delta)$）、次が成り立つ $T$ を時不変作用素と呼ぶ。

$T(S_\delta x) = S_\delta (T x)$

この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。

系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。

単純な例

系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。

• 系 A: $y(t) = t\cdot x(t)$
• 系 B: $y(t) = 10\cdot x(t)$

系 A は $x(t)$ と $y(t)$ 以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。

形式的な例

次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義（系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である）を利用する。

系 A:

遅延のある入力 $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$ を与えると、次のようになる。

$y_1(t) = t\, x_d(t) = t\, x(t + \delta)$

ここで出力を $\delta$ のぶんだけ遅延させる。

$y(t) = t\, x(t)$

$y_2(t) = \,\!y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)$

$y_1(t) \,\!\ne y_2(t)$ であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。

系 B:

遅延のある入力 $x_d(t) = \,\!x(t + \delta)$ を与えると、次のようになる。

$y_1(t) = 10 \,x_d(t) = 10 \,x(t + \delta)$

ここで出力を $\delta$ のぶんだけ遅延させる。

$y(t) = 10 \, x(t)$

$y_2(t) = y(t + \delta) = 10 \,x(t + \delta)$

$y_1(t) = \,\!y_2(t)$ であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。

抽象的な例

シフト作用素を $\mathbb{T}_r$ と表す。ここで、$r$ はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系

$x(t+1) = \,\!\delta(t+1) * x(t)$

は、ここでの抽象的記法では次のようになる。

$\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \, \tilde{x}$

ここで、$\tilde{x}$ は次の式で与えられる関数である。

$\forall t \in \mathbb{R}\ \tilde{x} = x(t)$

シフトされた出力となる系は次のようになる。

$\forall t \in \mathbb{R}\ \tilde{x}_1 = x(t + 1)$

従って $\mathbb{T}_1$ は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。

ここで、系を作用素 $\mathbb{H}$ で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、

$\forall r\ \mathbb{T}_r \, \mathbb{H} = \mathbb{H} \, \mathbb{T}_r$

系の方程式が次のようであるとする。

$\tilde{y} = \mathbb{H} \, \tilde{x}$

この系が時不変であるとは、系の作用素 $\mathbb{H}$ を $\tilde{x}$ に適用してからシフト作用素 $\mathbb{T}_r$ を適用した場合と、シフト作用素 $\mathbb{T}_r$ を適用してから系の作用素 $\mathbb{H}$ を適用した場合で、結果が等価となる場合である。

系の作用素を先に適用すると、次のようになる。

$\mathbb{T}_r \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{T}_r \, \tilde{y} = \tilde{y}_r$

シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。

$\mathbb{H} \, \mathbb{T}_r \, \tilde{x} = \mathbb{H} \, \tilde{x}_r$

従って、系が時不変なら次が成り立つ。

$\mathbb{H} \, \tilde{x}_r = \tilde{y}_r$

関連項目

• 有限インパルス応答
• LTIシステム理論
• 状態空間 (制御理論)